Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 11/9 /2014 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Lunedì 15/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Martedì 16/9 ore 15-17, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) La direzione di un ipermercato vuole studiare, mediante un modello matematico, i flussi interni di clientela nel corso dell’apertura quotidiana. L’ipermercato è suddiviso in due grandi zone, food e non -food , oltre alla zona casse . Tutti i clienti entrano obbligatoriamente dal reparto non -food , passano un numero arbitrario di volte da un reparto all’ altro, ed escono infine dalle casse che sono situate nel reparto food . In base a campionamenti statistici, si è osservato che, mediamente, ogni minuto il 15% dei clienti della zona non -food passa nella zona food , mentre il 5% dei clienti della zona food co mpie il passaggio inverso. Inoltre, il 10% dei clienti della zona food termina la spesa e si mette in coda alle casse. Infine, il 20% dei clienti alle casse termina le operazioni di pagamento e lascia l’ipermercato. a) Descrivere il sistema mediante un modello di stato, in cui rappresenta il numero di clienti che entrano nell’ipermercato nel corso del minuto , e il numero di clienti che lascia l’iperm ercato. b) Studiare la stabilità del modello. c) Determinare il numero di clienti a regime nella zona casse , se nell’ipermercato entrano 10 clienti al minuto per tutto il periodo di apertura. d) Determinare quanto tempo dopo l’apertura mattutina il numero di clienti alle casse è a regime. e) Determinare quanto tempo dopo la chiusura serale delle entrate l’ipermercato è vuoto. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: )(t u t )(t y 2) Nel seguente sistema a tempo continuo di ordine 1, rappresenta la frazione (rispetto al totale della popolazione) di acquirenti di un certo prodotto ( ). La creazione di nuovi acquirenti avviene per “contagio” (p assa -parola) tra gli acquirenti e i non acquirenti . a) Determinare, per tutti i , gli stati di equilibrio del sistema e rappresentarli in un piano . b) Discutere, per tutti i , la stabilità degli stati di equilibrio determinati al punto a). ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: )(t x 1 )( 0   tx x ) 1( x ) 1( x px x x    0p ) , ( x p 0p 3) Una serie di prove effettuate su un sistema esternamente stabile ha permesso di determinarne il diagramma di Bode del modulo, riportato in figura. Si è rilevato inoltre che lo sfasamento introdotto dal sistema tende a per . a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i risultati delle prove sperimentali. b) Determinare (in modo qualitativo) e rappresentare graficamente la risposta del sistema all’ingresso in figura, prestando particolare attenzione ai tempi di risposta e all’esistenza o meno di oscillazioni. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2    )(s G 4) Il sistema di controllo in figura ha la seguente funzione di trasferimento d’anello: a) Studiare la stabilità del sistema di controllo nel caso , , verificando che è instabile. b) Determinare una co ppia che renda il sistema di controllo asintoticamente stabile, con margine di fase di almeno 45 gradi (si consiglia di usare lo zero per cancellare uno dei poli della L(s)). c) Per i valori di proposti al punto b), determinare la banda passante del sistema di controllo; il tempo di risposta; l’errore a regime a fronte di riferimento e disturbo costante. ____________________________________ ______________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) 10 1)( 1( ) 1( 10 )( s s s s s L       1  0   ,  , 5) Il sistema (non lineare) di ordine ha tre equilibri: , , . La matrice di stato del sistema linearizzato (jacobiana) ha, in corrispondenza dei tre equilibri, gli autovalori rappresentati in figura. Cosa si può dedurre sulla stabilità dei tre equilibri? (motivare la risposta) ATTENZIONE : per il quesito 6), discutere e motivare (sinteticamente ma rigorosamente) le SOLE risposte corrette, rifacendosi agli opportuni risultati teorici. 6) I due sistemi A e B a tempo discreto , descritti dalle funzioni di trasferimento: [1] sono entrambi esternamente stabili [2] sono entrambi instabili [3] uno è instabile e l’altro esternamente stabile [4] non vi è sufficiente informazione per discutere la stabilità Il movimento libero dell’uscita [1] è mon otono per entrambi [2] presenta oscillazioni per entrambi [3] presenta oscillazioni per l’uno ma non per l’altro [4] tende per entrambi al valore 2 7) In Matlab, sono stati digitati i comandi >>A=[10 5; 0 –2]; >>b=[0; 1]; Illustrare il risultato che si ottiene con il comando seguente, discutendo quali conclusioni è possibile trarre sulle proprietà del sistema (A,b). >>det(ctrb(A,b)) Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: ) (x f x 3n x x x )5.0 )(5.0 ( )1.0 (2     z z z G A )5.0 )(5.0 ( )2.0 (2 i z i z z GB     5)