Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

Full exam

Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 30 /9 /2014 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Lunedì 6/10 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Martedì 7/10 ore 15-17, ufficio del docente (DEI B - ed. 20 - 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) In un dipartimento amministrativo gli impiegati sono inquadrati in quattro livelli stipendiali (1,2,3,4). Ogni anno, una frazione di impiegati di livello viene promossa a l livello (i+1), mentre una frazione di impiegati di livello lascia la struttura. Ogni anno viene inoltre assunto un numero u di nuovi impiegati, tutti inquadrati al livello 1. a) Des crivere la struttura del personale del dipartimento mediante un sistema dinamico, in cui l’uscita y indichi il numero di impiegati al livello più alto (livello 4). Specificare, in particolare, le matrici . b) Studiare la stabilità de l sistema, discutendo anche la possibile esistenza di oscillazioni. Si pongano ora (NON PRIMA) per ogni i. c) Determinare il modello ingresso/uscita del sistema. d) UTILIZZANDO IL MODELLO INGRESSO/USCITA, determinare l’uscita di e quilibrio corrispondente ad un numero costante di assunzioni. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: i )1 0(   i 3,2,1i i )1 0(   i 4,3,2,1i ) ,, , ( d c b A 1.0  i i   10 )(  u t u 2) La competizione tra un fornitore pubblico di servizi (1) ed uno priva to (2) può essere descritta da un modello del tipo in cui e rappresentano l’ammontare dei contratti di fornitura stipulati dai due competitori. a) Determinar e gli stati di equilibrio del sistema. b) Studiarne la stabilità con il metodo della linearizzazione, discutendo se è possibile o meno la coesistenza sul mercato dei due fornitori. ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x            2 1 2 2 2 1 x x x x x     1x 2x 3) Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento seguente: a) Determinare la risposta all’impulso e rappresentarla graficamente. b) Tracciare i diagrammi di Bode del modulo e della fase. c) Supponendo che l’ingresso applicato al sistema valga , determinare l’andamento dell’uscita a transitorio esaurito. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 100 1.0 10 )( 2     s s s s s G ) 10 sin(2 )( t t u  4) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui e . a) Determinare la coppia di coefficienti in modo tale che il sistema di controllo sia asintoticamen te stabile, con margine di fase di circa 45° e banda passante di circa 10 rad/sec (suggerimento: lo zero di può essere utilizzato per “cancellare” un polo di ). b) Si supponga ora che sia costante al valore 100, e che sia costante ma di valore e segno non not i. Determinare il massimo valore di sopportabile dal sistema qualora si voglia garantire un errore a regime in modulo non superiore a 10. ____________________________________ ______________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) 1)( 10 1)( 100 1( 1 )( +s s. + s =s G  ) 1( )( bs a s C   b a, )(s C )(s G w d | |d 5) Per il sistema , definire la nozione di stato non osservabile, di sottospazio di non osservabilità e di sistema completamente osservabile. ATTENZIONE : per il quesito 6), discutere e motivare (sinteticamente ma rigorosamente) l a sola rispost a corrett a, rifacendosi agli opportuni risultati teorici. 6) Ad un sistema lineare a tempo discreto, asintoticamente stabile, viene applicato un ingresso che in ogni istante è estr atto casualmente tra e . L’uscita del sistema [1] è limitata per ogni [2] è limitata, ma solo se [3] è limitata, e inoltre tende a 0 per ogni [4] è illimitata per qualche 7) In Matlab, è stato digitato il comando >>sis=tf([10],[1 -2 1]) Descrivere e interpretare ciò che si osserva digitando ora >>step(sis) Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) , Ax x cx y )(t u 1 1 )0(x 0 )0(  x )0(x )0(x 7)