Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

Full exam

Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 9/2/2015 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Venerdì 13/2 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Martedì 17/2 ore 15-17, ufficio del docente (DEI B - ed. 20 - 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un commerciante all’ingrosso acquista una volta l’anno due tipi di formaggio, allo scopo di invecchiarli e poi rivenderli: GP, che richiede 2 anni di invecchiamento e perde mediamente il 10% del peso ogni anno, e PR, che ne richiede 3 e perde il 20% annuo . Entrambi vengono acquistati a 5€/kg, mentre il prezzo a cui vengono rivenduti è di 15€/kg (GP) e 25€/kg (PR). Inoltre, ogni anno il commerciante dedica il 30% della spesa complessiva all’acquisto di GP e il restante al PR. a) Si proponga un modello che descriva l’evoluzione nel tempo delle quantità stoccate ad invecchiare, in cui rappresenti la spesa all’anno t per l’acquisto di formaggi da invecchiare e il ricavo all’anno t dalla vendita. b) Si studi la st abilità del sistema, discutendo in particolare il tempo di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni. c) Si determini il ricavo annuo a regime se la spesa per acquisto è costante e pari a 10000€. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: )(t u )(t y 2) Si consideri il sistema a tempo contin uo rappresentato in figura. Il blocco A ha funzione di trasferimento , il blocco D è descritto dal modello ingresso/uscita , il blocco C dal modello di stato seguente: a) Proporre, per il blocco B, una qualunque funzione di trasferimento di ordine 1 che renda il sistema aggregato asintoticamente stabile (spiegando con cura perché l’aggregato risulta asintoticamente stabile). b) Con il blocco B prima proposto, determinare TUTTE le cos tanti di tempo del sistema aggregato e quindi il suo tempo di risposta. ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 1 1 )(   s s GA D D D u y y    2  1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 3 2 1                        c b A 3) Mediante esperimenti su un circuito elettrico si sono ricavati i seguenti diagrammi di Bode del modulo e della fase (nota bene: la scala usata per la fase è del tutto equivalente a quella usuale: 360°=0°, 270°= - 90°, …). a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i diagrammi di Bode. b) Determinare, ricavando dai diagrammi d i Bode le informazioni necessarie, l’uscita a transitorio esaurito quando c) Determinare, in modo qualitativo, la risposta allo scalino e la risposta all’ impulso , discutendo anche i l tempo di risposta del sistema. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: -80 -60 -40 -20 0 Magnitude (dB) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 0 90 180 270 360 Phase (deg) 4) Si consideri il sistema in figura, in cui e . a) Determinare una possibile funzione di trasferimento per il blocco , contenente 1 polo e 1 zero, affinché il sistema risulti asintoticamente stabile con un margine di fase di circa 90°, e l'errore a regime a fronte di ingressi costanti sia nullo. b) Stimare, anche in modo approssimato, la banda del sistema e il suo tempo di risposta. c) Determinare, anche in modo approssimato, l'ampiezza dell'errore a regime dovuto a un disturbo . ____________________________________ ______________________________ _______ _______ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) Enunciare il criterio di stabilità di Hurwitz. 6) Dato un sistema di controllo, discutere, in funzione del tipo della funzione di trasferimento d’anello , l’errore a regime dovuto a un disturbo additivo in uscita costante. 7) Illustrare l a sequenza di comandi da digitare , una volta avviato Matlab , per visualizzare la risposta allo scalino del sistema Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7)