Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 6/3 /2015 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rin uncia al voto, saranno pubblicati entro Mercoledì 11/3 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Venerdì 13/3 ore 15-17 , ufficio del docente (DEI B - ed. 20 - 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Il sistema in figura è composto da una massa sottoposta ad una forza di richiamo elastica, proporzionale (con coefficiente ) allo scostamento della massa dalla posizione , ad una forza di attrito viscoso (con coefficiente ), e ad una forza esterna . Il sistema si trova inizialmente a riposo (posizione e velocità nulle all'istante ). Nell'intervallo viene applicata la forza costante , mentre nel successivo intervallo la forza applicata è nulla. Determinare e tracciare nel piano di stato la traiettoria seguita dal sistema nell'intervallo , nei due casi e . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui il blocco A è un integratore e il blocco B è descritto dal modello I/O . Si consideri dapprima il sistema SENZA il collegamento tratteggiato: a) Verificare che il sistema è asintoticamente stabile. b) Determinare il tempo di risposta e discutere l ’eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. Si consideri ora il sistema CON il collegamento tratteggiato: c) Determinare la funzione di trasferimento complessiva del sistema, esprimendola in funzione d elle funzioni di trasferimento e dei blocchi A e B. d) Discutere la stabilità del sistema. ________ ______ _____________________________ _______ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il sistema in figura: a) Discutere la stabilità del sistema. b) Tracciarne i diagrammi di Bode del modulo e della fase. c) Determinare (in modo qualitativo) la risposta allo scalino e rappresentarla graficamente. d) Determinare (in modo quantitativamente preciso per quanto riguarda le ampiezze ) l'uscita a regime quando . __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Mediante prove sperimentali su un sistema, si è ricavato il diagramma di Bode del modulo riportato in figura. Si è inoltre rilevato che lo sfasamento introdotto tende a quando . a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con le prove sperimentali . b) Determinare (in modo qualitativo) e rappresentare graficamente la risposta all'impulso del sistema. c) Discutere la stabilità del sistema rappresentato nella figura qui a destra . ______________________________________________ _______ ___________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) Un sistema di ordine 3 possiede 2 stati di equilibrio. Il quadro degli autovalori del sistema linearizzato, nell’intorno dei 2 equilibri, è riportato in figura. Discutere la stabilità degli stati di equilibrio. 6) Quanto vale il margine di fase di un sistema di controllo con funzione di trasferimento d’anello (con ) ? 7) Determinare il modello ingresso/uscita (equazione differenziale o funzione di trasferimento) corrispondente allo schema Simulink in figura. Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7) ))( ( )1 ( tx f tx   s s L / )(   0 