Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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F ONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 1° prova parziale, 6/5/20 16 COGNOME:___________ __ _________ NOME: ______________________ MATR ICOLA o CODICE PERSONA : ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 8 6 8 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza esposi tiva . 1) Si consideri la rete elettrica in figura, in cui e . a) Scrivere le equazioni di stato e di uscita, considerando come variabile di uscita la corrente nell'induttore. b) Discutere la stabilità del sistema al variare di . c) Alla rete elettrica a riposo (stato iniziale nullo) viene applicato l'ingresso costa nte nell'intervallo e quindi l'ingresso costante nell'intervallo . Rappresentare graficamente, nello spazio di stato, la corrispondente traiettoria del sistema nell'intervallo , nei due casi e . ________ _________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: L 'e.lv i ~'brl'o r~d"VV1i~ ~ v i' if d.; -r g r.;: -10 'P~- R:;:-:1 l R~ 4 . 'P~ ~I't:L" oJlle..~vl· L~ b "';0 c_ N~I fl"'l'~O (:.-.o....~a) ,'I S\'S."t~i#.. ~ L/ l ServO ,-,---'----~ ~:~J 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura. Il blocco B ha funzione di trasferimento Il blocco C è descritto dal modello ingresso/uscita . Il blocco D è descritto dal modello interno a) Supponendo che il blocco A sia descritto dalla funzione di trasferimento discutere (motivatamente) per quali valori di ) il sistema in figura risulta asintoticamente stabile. b) Scelta una qualunque coppia ) che rende il sistema asintoticamente stabile, determinare tutte le costanti di tempo del sistema e il tempo di rispost a. _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: C C C C u y y y    4 8     1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 0 1 1 1 0 0 0 2 0 4 3 2 1                                  c b A 3) La competizione tra due fornitori di servizi può essere descritta da un modello del tipo: in cui e rappresentano l’ammontare dei contratti di fornitura stipulati dai due competitori. a) Determinare tutti gli stati di equilibrio del sistema. b) Studiarne la stabilità con il metodo d i linearizzazione. c) Utilizzando il quadro locale delle traiettorie nell'intorno degli stati di equilibrio, e sfruttando le informazioni fornite dal lo studio delle isocline, proporre un plausibile quadro delle traiettorie nel primo quadrante. d) I n base ai risultati del punto c), determinare il bacino di attrazione (limitatamente agli stati iniziali non negativi) degli equilibri asintoticamente stabili, se ve ne sono. __________________________________________ ______ _________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x            2 1 2 2 2 1 x x x x x     1x 2x 4) Ciascuna delle tre affermazioni sotto riportate è FALSA. Per ciascuna di esse si proponga quindi un controesempio, vale a dire si proponga una coppia mostrando sinteticamente che falsifica l'affermazione. a) Ogni sistema lineare , con costante positivo, ha almeno uno stato di equilibrio. b) Ogni sistema lineare asintoticamente stabile , con costa nte positivo, ha infiniti stati di equilibrio. c) Ogni sistema lineare instabile , con costante positivo, non ammette stati di equilibrio. 5) Dato il sistema lineare si definiscano, in base al movimento libero, i concetti di sistema asintoticamente stabile, semplicemente stabile e instabile. Quindi, note le caratteristiche degli autovalori di , si dica sotto quali condizioni il sistema è instabile. 6) Si scrivano le equazioni di stato del sistema de scritto dal grafico Simulink in figura. Risposte ai quesiti 4 -5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: 4)