Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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F ONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 7/9 /2016 COGNOME:___________ __ _________ NOME: ______________________ MATR ICOLA o CODICE PERSONA : ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza esposi tiva . 1) Un braccio meccanico ruota nel piano orizzontale sotto l'azione di una coppia proporzionale allo scostamento tra posizione angolare desiderata ed effettiva : Il braccio ha momento d'inerzia ed è inoltre soggetto ad attrito viscoso con coefficiente d'attrito . a) Scrivere le equazioni di stato e d i uscita, considerando come variabile di uscita la posizione angolare del braccio meccanico. Si pongano, da qui in avanti, , . b) Discutere la stabilità del sistema per ogni valore di ( ). c) Al sistema a riposo ( ) viene applicato l'ingresso costante a partire da . Rappresentare graficamente, nello spazio di stato, la corrispondente traiettoria del sistema nei due casi e . d) Al sistema a riposo ( ) viene applicato l'ingresso in figura. Rappresentare graficamente, nello spazio di stato, la corrispondente traiettoria del sistema nel caso . _________________________________________ ___________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) La risposta allo scalino rilevata sperimentalmente su un sistema è quella riportata in figura. Si sono inoltre effettuate tre rilevazioni sperimentali applicando ingresso sinusoidale del tipo alle frequenze , ottenendo rispettivamente i valori 1; 10; 0.01 del rapporto di ampiezza uscita/ingresso a regime. a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con le prove sperimentali, tracciandone inoltre i diagrammi di Bode di modulo e fase. b) Determinare in modo qualitativo, e rappresentare graficamente, la risposta all'impulso del sistema. c) Discutere la stabilità del sistema ottenuto con retroazione (negativa) unitaria di . ______________________________________________________ ___________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui . a) Determinare un controllore , con esattamente 1 polo e 1 zero, tale che:  il sistema di controllo sia esternamente stabile;  l’errore a transitorio esaurito dovuto al riferimento costante sia nullo;  il tempo di risposta sia (approssimativamente) pari a 5. b) Per il sistema di controllo così ottenuto, ca lcolare il margine di fase e la banda passante. c) Determinare l’errore a transitorio esaurito dovuto al disturbo . __________________________________________ ______ _________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) 1)( 10 1)( 100 1( 1.0 )( +s s. + s =s G  )(s C ) 01.0 sin( 10 )( t t d   4) Si consideri il sistema lineare a tempo continuo rappresentato in figura, in cui a) Determinare le 4 funzioni di trasferimento tra i 2 ingressi e le 2 uscite e discuterne la stabilità esterna. b) Determinare l'espressione a transitorio esaurito delle 2 uscite quando vengono simultaneamente applicati gli ingressi , (per la componente sinusoidale, specificare esplicitamente la mo dalità di calcolo di modulo e fase). _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ATTENZIONE : per i quesiti 5) e 6), specificare la risposta corretta e MOTIVARLA (sinteticamente ma rigorosamente) rifacendosi agli opportuni risultati teorici. 5) Un sistema lineare si dice esternamente stabile se [1] è limitata per almeno qualche limitato, qualunque sia [2] è limitata per ogni , quando [3] è limitata per ogni limitato, qualunque sia [4] è limitata per ogni limitato, quando 6) Ad un sistema lineare, completamente raggiungibile ed osservabile, esternamente stabile, viene applicato un ingresso costante . [1] l’uscita tende a un valore costante, per ogni [2] l’uscita non tende ad alcun limite [3] l’uscita tende a un valore costante, ma solo per [4] i dati sono insufficienti per studiare il comportamento asintotic o dell’uscita 7) In Matlab sono stati digitati i seguenti comandi: >> sys=tf([1],[1 0]) >> [Gm,Pm,Wg,Wp] = margin(sys) Dopo la loro esecuzione, quanto valgono le variabili Pm e Wp ? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 7) )(t y )(t u )0(x )(t y )(t u 0 )0(  x )(t y )(t u )0(x )(t y )(t u 0 )0(  x 0 )(   u t u )0(x 0 )0(  x