Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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F ONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 21 /9 /2016 COGNOME:___________ __ _________ NOME: ______________________ MATR ICOLA o CODICE PERSONA : ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza esposi tiva . 1) Un fondo previdenziale suddivide i propri aderenti in tre classi, in base alla loro età: (1) da 20 a 40 anni, (2) da 40 a 60 anni, (3) oltre 60 anni. Gli aderenti di classe (1) e (2) versano ogni anno al fondo, rispettivamente, 2000 e 3000 euro, mentre quelli di classe (3) percepiscono dal fondo  euro all’anno. Ogni anno, una certa frazione di aderenti di classe i passa, per ragioni anagrafiche, alla classe j ( è quindi la frazione che rimane nella classe i). I coefficienti sono riportati nella tabella seguente. Infine, ogni anno il fondo recluta un certo numero di nuovi aderenti, esclusivamente di classe (1). a) Descrivere l’evoluzione nel tempo della popolazione degli aderenti al fondo previdenziale mediante un sistema a tempo discreto, in cui u(t) sia il num ero di nuovi aderenti nell’anno t e y(t) sia il numero complessivo di aderenti al fondo. b) Studiare la stabilità del siste ma dinamico proposto al punto a). c) Determinare, per ciascuna classe anagrafica, il numero di aderenti al fondo nel lungo periodo, n ell’ipotesi che il numero di nuovi aderenti sia pari a 1000 ogni anno. d) Aggiungere al modello un’ulteriore equazione di stato, la quale rappresenti l’evoluzione nel tempo della cassa del fondo previdenziale (nell’ipotesi che il capitale in cassa ad inizi o anno benefici di un interesse bancario del 5%). e) Determinare la quota  erogabile annualmente agli aderenti di classe (3) nell’ipotesi che la popolazione sia nelle condizioni di equilibrio determinate al punto c), e si voglia mantenere costante la cass a del fondo previdenziale al valore di 1.000.000 euro. _________________________________________ ___________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ij ii ij              6.0 0 0 1.0 8.0 0 0 05.0 9.0 ij 2) Nel seguente sistema a tempo continuo di ordine 1, rappresenta la frazione (rispetto al totale della popolazione) di acquirenti di un certo prodotto ( ). La creazione di nuovi acquirenti avviene per “contagio” (passa -parola) tra gli acquirenti e i non acquirenti . a) Determinare, per tutti i , gli stati di equilibrio del sistema e rappresentarli in un piano . b) Discutere, per tutti i , la stabilità d egli stati di equilibrio determinati al punto a). _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: )(t x 1 )( 0   tx x ) 1( x ) 1( x px x x    0p ) , ( x p 0p 3) Mediante esperimenti su un circuito elettrico si sono ricavati i seguenti diagrammi di Bode del modulo e della fase (nota bene: la scala usata per la fase è del tutto equivalente a quella usuale: 360°=0°, 270°= - 90°, …). a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i diagrammi di Bode. b) Determinare, ricavando dai diagrammi di Bode le informazioni necessarie, l’uscita a transitorio esaurito quando c) Determinare, in modo qualitativo, la risposta allo scalino e la risposta all’impulso, discutendo anche il tempo di risposta del sistema. __________________________________________ ______ _________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: -80 -60 -40 -20 0 Magnitude (dB) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 0 90 180 270 360 Phase (deg) 4) Ad un forno industriale inizialmente spento e a temperatura ambiente (0 [°C], per semplicità) è stato applicato uno scalino di potenza riscaldante pari a [W]. L'andamento registrato della temperatura all'interno del forno è riportato in fig ura. a) Determinare la funzione di trasferimento del forno. b) Progettare un controllore che: garantisca l'asintotica stabilità del sistema di controllo; ottenga errore a regime nullo a fronte di ingressi costanti; porti il sistema a regime in non più di 5 [h]. c) Il forno funziona con continuità 24 ore su 24 ed è collocato in ambiente aperto. Ipotizzando che la temperatura ambiente sia modellizzabile come un disturbo additivo in uscita che varia in modo sinusoidale, studiare l'effetto di un'escursione gi orno/notte da +10 [°C] a -10 [°C]. _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) Un sistema a tempo continuo asintoticamente stabile, completamente raggiungibile e osservabile, è sottoposto all'ingresso . Per ciascuna delle seguenti affermazioni, dire (motivando sinteticamente) se è vera o falsa: a) L'uscita è limitata, qualunque sia lo stato iniziale. b) A transitorio esaurito l'uscita è sinusoidale. c) A transitorio esaurito l'uscita è periodica. 6) Enunciare le definizioni di stato raggiungibile, di insieme di raggiungibilità e di sistema completamente raggiungibile. 7) In Matlab, si vuole tracciare il grafico della risposta all’impulso del sistema definito da . Qual è la sequenza di comandi da digitare? Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7)  0 1 1 0 2 0 2 1             c b A