Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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F ONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi 2° prova parziale, 30/6 /20 17 COGNOME:___________ __ _________ NOME: ______________________ MATR ICOLA o CODICE PERSONA : ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 9 7 6 4 4 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza esposi tiva . 1) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura: in cui , , . a) Determinare la funzione di trasferimento tra ciascun ingresso e l'uscita e discuterne la stabilità. b) Determinare qualitativamente l'uscita quando ai tre ingressi viene applicato uno scalino unitario agli istanti, rispettiv amente, 0, 5, 10. c) Determinare qualitativamente l'uscita quando ai tre ingressi viene applicato un impulso unitario agli istanti, rispettivamente, 0, 5, 10. _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Un sistema dinamico è stato sottoposto a prove "in frequenza" applicando in ingresso sinusoidi di ampiezza unitaria alle frequenze e registrando in corrispondenza l'ampiezza dell'uscita, risultata rispettivamente pari a . Si è inoltre rilevato che lo sfasamento tende a per . Infine, si è osservando che la risposta allo scalino del sistema tende asintoticamente a zero. a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con tutte le prove sperimentali. b) Determinare qualitativamente la risposta allo scalino del sistema. c) Determinare (anche in modo approssimato utilizzando i diagrammi di Bode ) l'uscita a transitorio esaurito quando (specificare quantitativamente anche i valori degli sfasamenti) . _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Si consideri il seguente sistema a tempo discreto, in cui l'uscita è la seconda variabile di stato. a) Studiarne la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilità. b) Se possibile, progettare un regolatore (ricostruttore asintotico dello stato + legge di controllo) in cui, a fronte di ingresso costante, lo stato di equilibrio venga raggiunto in circa 5 istanti di tempo [NB: è sufficiente scrivere i s istemi di equazioni risolvendo i quali si ottengono , ]. __________________________________________ ______ _________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Definire la nozione di sistema stabilizzabile e fornire una condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema sia stabilizzabile. 5) Definire la nozione di stabilità esterna e discutere la relazione tra stabilità esterna e interna (asintotica). 6) Determinare il modello ingresso/uscita (equazione differenziale o funzione di trasferimento) corrispondente allo schema Simulink in figura. Risposte ai quesiti 4 -5-6 [se necessario proseguire sul retro ]: