Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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F ONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 5/9 /2017 COGNOME:___________ __ _________ NOME: ______________________ MATR ICOLA o CODICE PERSONA : ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza esposi tiva . 1) In una popolazione di insetti ciascun individuo vive esattamente 3 settimane. Alla fine della seconda settimana di vita avviene la riproduzione, durante la quale ogni individuo depone in media uova. La probabilità di sopravvivenza nella prima settimana di vita vale 0.001, nelle successive due settimane vale 0.1. a) Descrivere la popolazione con un modello a classi d’età. b) Discutere la stabilità del sistema al variare di e d iscutere l’esistenza di oscillazioni nel movimento libero. c) Introdurre nel modello una variabile d’ingresso che descriva l'immigrazione di adulti (seconda e terza classe d'età) dall'esterno, supponendo gli adulti immigrati si distribuiscano alla pari nelle due classi d'età relative, e una variabile di uscita che rappresenti il numero di uova deposte. d) Determinare la funzione di trasferimento e il modello ingresso/uscita in forma di predizione. _________________________________________ ___________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Il sistema possiede 4 stati di equilibrio. Le matrici di stato dei sistemi linearizzati (Jacobiani) calcolati in corrispondenza di tali equilibri sono le seguenti: a) Studiare la stabilità dei 4 equilibri. b) Nei casi in cui è possibile, tracciare il quadro locale delle traiettorie nell’intorno dell’equilibrio del sistema . _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) (x f x        2 2 2 1 1J     0 0 1 1 2J       0 2 2 0 3J      0 2 2 0 4J ) (x f x 3) La risposta allo scalino rilevata sperimentalmente su un sistema è quella riportata in figura. Si sono inoltre effettuate tre rilevazioni sperimentali applicando ingresso sinusoidale del tipo alle frequenze , ottenendo rispettivamente i valori 1; 10; 0.01 del rapporto di ampiezza uscita/ingresso a regime. a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con le prove sperimentali, tracciandone inoltre i diagrammi di Bode di modulo e fase. b) Determinare in modo qualitativo, e rappresentare graficamente, la risposta all'impulso del sistema. c) Discutere la stabilità del sistema ottenuto con retroazione (negativa) unitaria di . _________________________________________________________________________ So luzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento seguente: a) Determinare la risposta all’impulso e rappresentarla graficamente. b) Tracciare i diagrammi di Bode del modulo e della fase. _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 100 1.0 10 )( 2     s s s s s G 5) Dato un sistema di controllo con funzione di trasferimento d'anello discutere, in funzione del tipo , l’errore a regime dovuto a un disturbo additivo in uscita costante. 6) Con riferimento a un sistema lineare a tempo discreto, definire il guadagno, fornire la sua espressione in funzione di , discutere in quali casi non è ben definito. 7) Dato lo schema Simulink in figura, determinare la funzione di trasferimento tra l'ingresso u e l'uscita y (si ignori l'ingresso di disturbo d). Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 6) 7)