Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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F ONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 19/1/2018 COGNOME:___________ __ _________ NOME: ______________________ MATR ICOLA o CODICE PERSONA : ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza esposi tiva . 1) Un processo produttivo è composto di due fasi (A e B) da svolgersi in cascata, ciascuna della durata di 1 ora. All' istante (=ora) , una quantità di nuovo materiale viene posta in lavorazione. Al termine della fase A, la frazione di materiale lavorato è accumulata nelle scorte S, mentre la restante parte passa nella fase B. Al termine della fase B, la frazione di materiale lavorato è anch'essa accumulata nelle scorte S, mentre la restante parte è sottoposta a un controllo di qualità (di durata trascurabile) che stabilisce che, mediamente, la frazione deve ripetere la lavorazione a partire dalla fase A. La restante parte, quella cioè che passa con successo il controllo di qualità, ha terminato la lavorazione. a) Descrivere il processo produttivo mediante un sistema lineare a tempo discreto di ordine 3 (fase A, fase B, scorte S), in cui l'uscita rappresenti la quantità di materiale che ha terminato la lavorazione. b) Discutere la stabilità del sistema al varia re di . c) Discutere e calcolare gli stati di equilibrio del sistema per costante. d) Determinare la funzione di trasferimento e il guadagno del sistema. _________________________________________ __________________________ _____ _ Soluzione [se neces sario proseguire sul retro ]: 2) Nel seguente sistema a tempo continuo di ordine 1, rappresenta la frazione (rispetto al totale della popolazione) di acquirenti di un certo prodotto ( ). La creazione di nuovi acquirenti avviene per “contagio” (passa -parola) tra gli acquirenti e i non acquirenti . a) Determinare, per tutti i , gli stati di equilibrio del sistema e rappresentarli in un piano . b) Discutere, per tutti i , la stabilità degli stati di equilibrio determinati al punto a). ___________________________________________________ ______________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: )(t x 1 )( 0   tx x ) 1( x ) 1( x px x x    0p ) , ( x p 0p 3) Mediante esperimenti su un circuito elettrico si sono ricavati i seguenti diagrammi di Bode del modulo e della fase (nota bene: la scala usata per la fase è del tutto equivalente a quella usuale: 360°=0°, 270°= - 90°, …). a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i diagrammi di Bode. b) Determinare, ricavando dai diagrammi di Bode le informazioni necessarie, l’uscita a transitorio esaurito quando c) Determinare, in modo qualitativo, la risposta allo scalino e la risposta all’impulso, discutendo anche il tempo di risposta del sistema. ____________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: -80 -60 -40 -20 0 Magnitude (dB) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 0 90 180 270 360 Phase (deg) 4) Si consideri il sistema in figura, in cui e . a) Determinare una possibile funzione di trasferimento per il blocco , contenente 1 polo e 1 zero, affinché il sistema risulti asintoticamente stabile con un margine di fase di circa 90°, e l'errore a regime a fronte di ingressi costanti sia n ullo. b) Stimare, anche in modo approssimato, la banda del sistema e il suo tempo di risposta. c) Determinare, anche in modo approssimato, l'ampiezza dell'errore a regime dovuto a un disturbo . ___________________________________________ ______________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) Con riferimento al sistema dinamico lineare , si definiscano i concetti di sistema asintoticamente stabile, semplicemente stabile, instabile, sulla base del movimento libero del sistema. 6) Si consideri un sistema lineare asintoticamente stabile, con costante di tempo dominante secondi. Se al sistema viene applicato l’ingresso , a regime [1] l’uscita vale 0, qualunque sia il sistema [2] l’uscita vale 0, se e solo se il sistema ha guadagno [3] l’uscita è una sinusoide di pulsazione , per ogni [4] l’uscita è una sinusoide di pulsazione , per ogni (scegliere - e motivare - la risposta corretta ) 7) Illustrare i comandi Matlab per simulare l'andamento dell'uscita del sistema dinamico partendo dal la condizione iniziale , su un orizzonte di unità di tempo, con ingresso costante . Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 3  dT ) 2 sin( 10 )( t t u  0   2   )0(x 2/ 2   )0(x