Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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F ONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 7/2 /2018 COGNOME:___________ __ _________ NOME: ______________________ MATR ICOLA o CODICE PERSONA : ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza esposi tiva . 1) Una società finanziaria, all’inizio di ogni mese:  eroga nuovi prestiti di durata quadrimestrale;  riscuote l’interes se sui prestiti esistenti, nella misura del 1% dell’ammontare del prestito;  incassa il rimborso dei prestiti giunti a scadenza;  classifica come “persi”, in media, il 2% dei prestiti esistenti; questi non daranno più luogo ad interessi e non saran no riscuotibili alla scadenza. a) Descrivere tale attività mediante un modello di stato, in cui rappresenta l’ammontare di nuovi prestiti erogati all’inizio del mese e l’ammontare deg li interessi riscossi. b) Studiare la stabilità del modello. Se, a partire da , ogni mese i nuovi prestiti erogati ammontano a 100.000 euro: c) Calcolare l’ammontare mensile degli interessi riscossi a regime. d) Determinare dopo quan ti mesi il sistema ha raggiunto tale regime. ____________________________________ __________________________ _____ _ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura, in cui il blocco A è un integratore, il blocco B è descritto dal modello ARMA , ed il blocco C è descritto dall a terna di matrici . a) Discutere la stabilità del sistema , motivando adeguatamente la risposta . b) Determinare TUTTE le costanti di tempo del sistema. c) Determinare il tempo di risposta del sistema. _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: A B C + + + + - - B B B B B u u y y y 5 11 2         1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 4 3 1 1 2 1 0 0 4 0 0 0 1 2                                c b A 3) Mediante una serie di esperimenti s u un sistema, si sono ricavati i diagrammi di Bode (modulo e fase) riportati in figura. a) Determinare la funzione di trasferimento del sistema. b) Determinare e rappresentare graficamente la risposta allo scalino. c) Calcolare l’uscita a transitorio esa urito quando ____________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: ) 10 sin( 10 )( sca5 )( t t t u    4) Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descrit to da a) Studiarne la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilità. b) Verificare se è possibile stabilizzarlo con una retroazione dinamica dall’uscita (regolatore = ricostruttore + legge di controllo) e, in caso affermativo, d eterminare un regolatore che porti il sistema all’equilibrio (approssimativamente) in un tempo . _________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]:  1 0 0 1 5.0 1 0 2             c b A 5) Dato un sistema di controllo con funzione di trasferimento d'anello discutere motivatamente , in funzione del tipo , l’errore a regime dovuto a un disturbo additivo in uscita costante. 6) Enunciare il criterio di Bode per la stabilità di un sistema retroazionato. 7) Illustrare l a sequenza di comandi da digitare, una volta avviato Matlab, per visualizzare la risposta allo scalino del sistema Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 7)