- userLoginStatus
Welcome
Our website is made possible by displaying online advertisements to our visitors.
Please disable your ad blocker to continue.
Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica
Dispensa - Testo
Complete course
Fondamenti di automatica Testo per allievi fisici e matematici II anno, I semestre, 5 crediti A cura di Fabio Dercole, Carlo Piccardi e Sergio Rinaldi ii Fondamenti di automatica Fondamenti di automatica iii Premessa La riforma degli studi universitari in atto in questi anni ha puntato, nelle facoltà di ingegneria, su due caratteristiche fondamentali: lo snellimento dei corsi (oggi per lo più di durata dimezzata rispetto a quelli di un tempo) e l'irrobustimento del legame tra teoria e applicazioni. La risposta a minimo sforzo a questi mutati requisiti consiste nel limitare il programma del corso, nell'adottare ancora i vecchi testi e nello svolgere a lezione un maggior numero di esempi a carattere applicativo. Questa risposta non è tuttavia soddisfacente perché impone allo studente l'acquisto di testi sovradimensionati e una perdita di tempo inaccettabile legata all'oggettiva difficoltà di leggere testi a passo zoppo. D'altra parte, la polverizzazione dei piani di studio e la loro quasi sistematica revisione annuale fanno sì che ogni corso debba, o per lo meno possa, essere ritarato ogni anno sulle esigenze specifiche di un limitato numero di studenti. Ciò scoraggia indubbiamente i docenti a intraprendere la scrittura di nuovi testi, che potrebbero risultare già obsoleti poco dopo la prima stampa. Ma al di là delle titubanze dei docenti, la produzione di nuovi testi universitari è resa praticamente impossibile dalle giuste esigenze delle case editrici che non possono intraprendere avventure editoriali che non abbiano garanzie di mercato vasto e duraturo. Di fronte a queste difficoltà, l'unica risposta che ci è parsa accettabile e a costi e rischi contenuti è stata quella di passare a testi virtuali in forma elettronica che possono essere facilmente messi a disposizione degli studenti e adattati di anno in anno alle nuove esigenze didattiche. Quello che qui proponiamo è un nostro primo tentativo in tal senso, adattato al corso di Fondamenti di automatica impartito al primo semestre del secondo anno dei nuovi corsi di laurea in ingegneria fisica e matematica. Questo testo è il primo risultato concreto di un vero e proprio progetto di ricerca finalizzato alla scrittura di testi virtuali a partire da una Banca della Didattica (costituita da schede "lezione", schede "esercitazione" e schede "applicazioni") messa a punto da un certo numero di docenti che hanno insegnato negli anni passati corsi di Analisi dei sistemi, Controlli automatici, Fondamenti di automatica, Modellistica e simulazione e Teoria dei sistemi in varie sedi e in vari corsi di laurea e di diploma. Per facilitare la lettura del testo, le dimostrazioni dei teoremi e gli esempi sono stati tipograficamente evidenziati, così come i 75 problemi proposti di cui è annunciato il carattere iv Fondamenti di automatica (T= teorico, N= numerico, A= applicativo) e il livello di difficoltà (I, II, III). In alcuni paragrafi è mostrato con un certo dettaglio come le metodologie descritte possano essere usate per risolvere importanti problemi applicativi nel settore dell'automazione (controllo del movimento di un convoglio, controllo della posizione di un'antenna, controllo dell'alimentazione di un impianto chimico, regolazione di un satellite su orbita circolare, controllo della velocità di un carico rotante). Infine, sono anche proposti quattro problemi a carattere professionale la cui soluzione richiede l'uso di software specialistico. Gli autori: Fabio Dercole, Carlo Piccardi, Sergio Rinaldi Fondamenti di automatica v Indice Premessa .............................................................................................................. iii 1. Definizione di sistema lineare......................................................................... 1 2. Modello ARMA e funzione di trasferimento .................................................. 5 3. Calcolo della funzione di trasferimento e realizzazione ................................. 8 4. Aggregati di sottosistemi e formula di Mason .............................................. 13 5. Cambiamento di coordinate e sistemi equivalenti ........................................ 19 6. Movimento, traiettoria ed equilibrio ............................................................. 20 7. Formula di Lagrange e matrice di transizione .............................................. 24 8. Reversibilita’ ................................................................................................. 28 9. Stabilità interna: definizioni.......................................................................... 30 10. Il metodo delle simulazioni ........................................................................... 31 11. Autovalori e stabilità ..................................................................................... 32 12. Esempio di applicazione: controllo del movimento di un convoglio............ 39 13. Test di asintotica stabilità.............................................................................. 42 14. Costante di tempo dominante........................................................................ 46 15. Esempio di applicazione: controllo della posizione di un’antenna............... 50 16. Stabilità degli aggregati ................................................................................ 51 17. Esempio di applicazione: controllo dell'alimentazione di un impianto chimico.......................................................................................................... 53 18. Raggiungibilità e legge di controllo.............................................................. 56 19. Osservabilità e ricostruzione dello stato ....................................................... 61 20. Sintesi del regolatore..................................................................................... 67 21. Esempio di applicazione: regolazione di un satellite su orbita circolare ...... 71 22. Scomposizione in parti.................................................................................. 76 23. Calcolo del modello ARMA di un sistema ) d , , , ( Tc b A............................... 78 24. Poli e zeri della funzione di trasferimento .................................................... 81 25. Poli e stabilità esterna ................................................................................... 82 26. Zeri, ingressi nascosti e sistemi a sfasamento minimo ................................. 85 27. Ricostruzione degli ingressi .......................................................................... 87 28. Poli e zeri di sistemi in cascata, parallelo e retroazione ............................... 89 29. Il luogo delle radici ....................................................................................... 91 30. Risposte canoniche e loro importanza ........................................................ 101 31. Risposta all'impulso .................................................................................... 101 32. Equivalenza tra risposta all'impulso e funzione di trasferimento ............... 105 33. Calcolo delle risposte all'impulso, allo scalino e alla rampa ...................... 108 vi Fondamenti di automatica 34. Regime periodico ........................................................................................ 116 35. Regime sinusoidale e risposta in frequenza dei sistemi a tempo continuo....................................................................................................... 119 36. Poli complessi e risonanza .......................................................................... 124 37. Rappresentazioni della risposta in frequenza: generalità ............................ 126 38. Diagrammi di Bode ..................................................................................... 127 39. Diagramma di Bode di aggregati ................................................................ 138 40. Esempio di applicazione: controllo della velocità di un carico rotante ...... 142 41. Diagrammi polari ........................................................................................ 145 42. Il criterio di stabilità di Nyquist .................................................................. 147 Problemi applicativi ........................................................................................... 150 Appendice .......................................................................................................... 160 Fondamenti di automatica 1 1. Definizione di sistema lineare I sistemi lineari sono una classe particolare, ma molto importante, di sistemi dinamici. Come tali essi sono caratterizzati da variabili di ingresso,stato e uscita, nel seguito indicate con u,x e y. Con t si indica, invece, il tempo, che può essere un intero (sistema a tempo discreto) o un reale (sistema a tempo continuo). Limitandoci al caso dei sistemi con un solo ingresso e una sola uscita e a dimensioni finite dobbiamo ulteriormente assumere che R t y R t R t u n � � �) ( ) ( ) (x dove la dimensione n del vettore di stato si chiama ordine del sistema. Fatte queste premesse, possiamo definire i sistemi lineari a tempo discreto come quei sistemi in cui lo stato si aggiorna secondo una equazione lineare, detta equazione di stato, ) ( ) ( ) 1 (t u t tb Ax x (1) doveA è una matrice nnu e b un vettore nu1 e l’uscita dipende dallo stato e dall’ingresso secondo una equazione lineare, detta trasformazione d’uscita, ) ( ) ( ) (t du t t y T x c (2) dovec T è un vettore riga 1un e d un reale. Scritta per ogni componente xi del vettore di stato, la (1) corrisponde a ) ( ) ( ) ( ) 1 () ( ) ( ) ( ) 1 () ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 12 2 1 21 21 1 1 11 1 t u b t x a t x a t xt u b t x a t x a t xt u b t x a t x a t x n n nn n nn nn n mentre la (2) si specifica in ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 t du t x c t x c t y n n Nel seguito supporremo che A,b,c T e d siano costanti nel tempo (sistemi invarianti). In modo del tutto analogo, indicata con ) (tx la derivata di ) (tx rispetto al tempo, possiamo definire i sistemi lineari a tempo continuo come quei sistemi con equazione di stato 2 Fondamenti di automatica ) ( ) ( ) (t u t t b Ax x (3) e trasformazione d’uscita ) ( ) ( ) (t du t t y T x c (4) I sistemi lineari (sia a tempo discreto che a tempo continuo) sono cosí individuati dalla quaterna (A,b,c T,d) che è conveniente ordinare nel modo seguente Ab c T d Essi sono spesso rappresentati in una delle due forme mostrate in Fig. 1. Figura 1 Rappresentazioni di un sistema lineare: (a) forma compatta; (b) forma disaggregata in cui il primo blocco rappresenta l’equazione di stato e il secondo la trasformazione d’uscita La prima forma mette in evidenza soltanto le variabili di ingresso e uscita, dette esterne perché sono quelle attraverso le quali ogni sistema interagisce con il resto del mondo. La seconda forma mette in evidenza anche le variabili di stato, dette interne. In molti casi l’ingresso non influenza direttamente l’uscita, cioè d 0. Tali sistemi, dettipropri, sono individuati dalla terna (A,b,c T) mentre quelli con dz0, detti impropri, sono caratterizzati da una quaterna (A,b,c T,d). Sistemi senza ingresso ( 0 b), o con ingresso identicamente nullo, si dicono autonomi e sono descritti, nel caso siano propri, dalla coppia (A,c T). Nel seguito discuteremo le principali proprietà dei sistemi lineari, iniziando da quelle che dipendono soltanto dalla matrice A (reversibilità e stabilità interna), continuando con quelle caratterizzate dalla coppia (A,b) (raggiungibilità) o dalla coppia (A,c T) (osservabilità) e terminando con quelle Fondamenti di automatica 3 che dipendono dalla terna (A,b,c T) o dalla quaterna (A,b,c T,d) (stabilità esterna, sfasamento minimo, ...). Esempio 1 (legge di Newton) Si supponga che ad una massa puntiforme m, vincolata a scorrere senza attrito lungo una retta, sia applicata una forza ut() nella direzione della retta. Detta yt() la posizione della massa, misurata rispetto ad un punto fisso, la legge di Newton afferma che ) ( ) (t u t y m La stessa legge può tuttavia essere posta nella forma di un sistema lineare a tempo continuo. Per questo basta indicare con xt1() la posizione della massa e con x t2() la sua velocità per ottenere le equazioni di stato ) ( 1 ) () ( ) ( 22 1 t u m t xt x t x e la trasformazione di uscita yt xt () () 1 In conclusione, la legge di Newton è descritta da un sistema proprio individuato dalla terna Ab c 01 000 1 10m T h Esempio 2 (allevamento di Fibonacci) L’esempio forse più antico di sistema lineare a tempo discreto è quello suggerito dal matematico pisano Leonardo Fibonacci nel 1200 per descrivere la crescita di una popolazione di conigli in un allevamento. Indicato con t l’anno, con xt1() il numero di coppie di conigli giovani presenti nell’allevamento all’inizio dell’anno t, con x t2() l’analogo numero di coppie adulte, con ut() il numero di coppie di conigli adulti 4 Fondamenti di automatica prelevati dall’allevamento alla fine dell’anno t (dopo la riproduzione) e con yt() il numero totale di coppie di conigli presenti nell’allevamento all’inizio dell’anno t, si ipotizzi che x i conigli giovani non riproducano x i conigli giovani diventino adulti dopo un anno x i conigli adulti riproducano una volta l’anno x ogni coppia di conigli adulti generi una coppia di conigli giovani x i conigli siano immortali Il semplice bilancio di conigli giovani e adulti porta allora a scrivere le equazioni di stato xt x t xt xt xt ut 12 212 1 1 () () ( ) () () () mentre la trasformazione di uscita è yt xt x t () () () 12 Il sistema (che risulta essere proprio) è pertanto individuato dalla terna Ab c 01 110 1 11 T Supponendo che all’istante t 0 lo stato del sistema sia x()01 0 e l’ingresso ut() sia identicamente nullo, usando ricorsivamente l’equazione di stato e la trasformazione d’uscita si può determinare la sequenza di uscita , ,y ,y y) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( e verificare che ogni elemento della sequenza è uguale alla somma dei due elementi precedenti (numeri di Fibonacci). h Fondamenti di automatica 5 Problema 1 (A, II) Si descriva il sistema meccanico riportato in figura con una quaterna (A,b,c T,d), supponendo che le due masse 1m e 2m non siano soggette ad attrito e che la molla abbia coefficiente di elasticità k. u(t) = forza applicata alla massa 2m y(t) = posizione della massa 1m Problema 2 (A, I) Per la creazione di borse di studio l’Università dispone di un proprio conto corrente. Il 2 gennaio di ogni anno t una Fondazione versa su tale conto il 20% del proprio capitale e lo stesso giorno il Ministero effettua un versamento di u(t) milioni per l’intero anno. Il giorno seguente, l’Università versa metà del proprio capitale all’Opera Universitaria per la creazione di borse di studio. Il capitale rimanente viene impiegato dall’Università al tasso di interesse annuo del 10%. Supponendo che anche la Fondazione fruisca dello stesso tasso di interesse, si determini la quaterna (A,b,c T,d) che descrive il sistema, considerando come uscita y(t) la cifra spesa per le borse di studio e come variabili di stato ) (1t x e ) (2t x il capitale dell’Università e della Fondazione all’inizio dell’anno t. 2. Modello ARMA e funzione di trasferimento La definizione di sistema lineare data nel precedente paragrafo si chiama, in gergo, definizione "interna", perché fa riferimento esplicito allo stato del sistema. Una definizione alternativa è quella "esterna", che coinvolge, invece, soltanto ingresso e uscita. Secondo questa definizione, in un sistema lineare a tempo discreto di ordine n, una somma pesata degli ultimi ( n1 ) valori di ingresso uguaglia, in ogni istante di tempo t, una somma pesata dei corrispondenti valori di uscita, cioé ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 0 1 t u n t u n t u t y . n t y . n t y n n (5) Se E0 0 z l’ingresso ut() influenza direttamente l’uscita yt() e, pertanto, il sistema è improprio. Se, invece, E0 0 il sistema è proprio. La (5) viene spesso usata nella forma 6 Fondamenti di automatica ¦ ¦ n ii n ii i t u i t y . t y 0 1 ) ( ) ( ) ( in cui la prima sommatoria viene chiamata autoregressione e la seconda media mobile. Per questo motivo la (5) è universalmente nota come modello autoregressivo a media mobile o, più sinteticamente, come modello ARMA (dall’inglese Auto Regressive- Moving Average). L’analogo della (5) a tempo continuo è l’equazione differenziale di ordinen ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 0 ( n ) 1 ( 1 ) ( 0 ) 0 ( n ) 1 ( 1 ) (t u t u t u t y t y t y n n n n E E E D D (6) dove uti ()() e yti ()() sono la derivata i-esima di ingresso e uscita. Anche questo modello è chiamato (per abuso di linguaggio) modello ARMA. L’interpretazione della legge di Newton vista nell’Esempio 1 può così essere completata notando che la relazione ) ( 1 ) (t u m t y è un caso particolare della (6) (modello MA, cioè modello ARMA senza termine autoregressivo). La dinamica dell’allevamento di Fibonacci (Esempio 2) è, invece, descritta (facile da verificare) dal modello ARMA ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 (t u t u t y t y t y Questa è la relazione che viene normalmente usata per generare ricorsivamente i numeri di Fibonacci (annullando l’ingresso e ponendo yy() ()011 ). Le (5) e (6) possono essere scritte nella forma generale D py t N pu t ()() ()() (7) dove D()˜ e N()˜ sono due polinomi di grado n n n nn n n p p p N. p . p p D 1 1 01 1 ) () ( ep è un operatore di "anticipo" nel caso di tempo discreto, (cioé py t yt () ( ) 1 , pyt yt2 2 () ( ) , ...) e di "derivazione" nel caso di tempo continuo (cioé ) ( ) (t y t py , ) ( ) ( 2 t y t y p , ...). Assegnare un modello ARMA significa, quindi, assegnare i due Fondamenti di automatica 7 polinomi D()˜ e N()˜ o, equivalentemente, i 1 2n parametri { Di}, ,n , i1 e { Ei}, ,n , i0 . Spesso il simbolo p nella (7) viene sostituito da z o da s a seconda che il tempo sia discreto o continuo. Così, ad esempio, la legge di Newton (Esempio 1) è inviduata da Ds s N s m () () 2 1 e l’allevamento di Fibonacci (Esempio 2) da Dz z z N z z() () 2 11 Nel caso che i due polinomi D()˜ e N()˜ siano primi tra loro (cioé non abbiano zeri in comune), il modello ARMA si dice di trasferimento. In questi casi, dato che il polinomio D()˜ è monico, la coppia ( D()˜,N()˜) è ricavabile dal rapporto N D () ()˜˜ , noto come funzione di trasferimento e indicato nel seguito con G()˜ , cioé Gp N p Dp ()() () (8) Se, invece, il modello ARMA non è di trasferimento, cioè se N p rpn p Dp rpd p() ()() () ()() (9) con n()˜ e d()˜ primi, la funzione di trasferimento (8) risulta uguale a np d p() () . Gli zeri di n()˜ e d()˜ si chiamano, rispettivamente zeri e poli della funzione di trasferimento. Tenendo conto delle (7) e (9) si può verificare che un modello ARMA può essere scomposto, come mostrato in Fig. 2, in un modello ARMA di trasferimento individuato dalla coppia di polinomi primi ( n()˜ ,d()˜ ) dpy t npw t ()() ()() (10) e in un modello AR individuato dai polinomi ) ( 0,˜ r, rpv t ()() 0 (11) 8 Fondamenti di automatica Figura 2 Scomposizione di un modello ARMA ( Dp() ,N p() ) in un modello ARMA di trasferimento ( np() ,dp() ) e in un modello AR (0,r (p)) Infatti, moltiplicando la (10) per rp () e tenendo conto della (11) e del fatto che wt vt ut () () () si ottiene la (7) con N p () e D p () dati dalla (9). Lo schema di Fig. 2 mette in evidenza che la funzione di trasferimento Gp np dp() () () identifica esclusivamente una parte del modello ARMA. In altre parole, la conoscenza della sola funzione di trasferimento non permette in generale di calcolare l’uscita di un sistema a partire dal suo ingresso, a meno che il segnale v()˜ sia identicamente nullo, il che si verifica quando le condizioni iniziali del modello AR (11) sono nulle. 3. Calcolo della funzione di trasferimento e realizzazione Avendo dato due diverse definizioni di sistema dinamico (una interna e una esterna) è importante capire come si possa passare da una descrizione all’altra. Il problema del calcolo delle relazioni ingresso-uscita (cioè del modello ARMA e della funzione di trasferimento) di un sistema assegnato mediante una quaterna (A,b,c T,d) può essere ben inquadrato soltanto dopo aver introdotto le nozioni di raggiungibilità e osservabilità. Per ora notiamo che le (1) e (3), ricordando il significato dell’operatore p, possono essere scritte nella forma p t t ut xAxb() () () per cui xIAb() ( ) ()tp ut 1 Dalle (2) e (4) segue allora che Fondamenti di automatica 9 yt p dut T () ( ) () cIAb 1 e un confronto con le (7) e (8) fornisce Gp p d T () ( ) cIAb 1 (12) Per l’inversione della matrice ( pIA ) di dimensioni nnu , si può procedere nel modo seguente (metodo di Souriau). Posta la matrice ()pIA 1 nella forma ) ( ) ( 1 ) ( 1 p p pP A I A' dove P()p è una matrice nnu di polinomi di grado minore di n e ) (p A' è il polinomio caratteristico della matrice A, ) (p A' e P()p si calcolano con le due formule seguenti 1 2 1 1 01 1 ) () ( ' n n nn n n p p p. p . p p P P P P A dove ) ( tr 1) ( tr 3 1) ( tr 2 1) ( tr1 1 2 12 3 2 1 21 2 1 0 10 1 0A P I A P PA P I A P PA P I A P PA P I P n n n n n n D DD DD D D Se, a conti fatti, la funzione di trasferimento G pnpdp () () () ha il polinomio dp() di grado n, allora dalle formule di Souriau segue che ) ( ) ( ) (p p D p d A' e il modello ARMA ( N p (),D p ()) del sistema è deducibile dalla funzione di trasferimento. Inoltre, in tal caso, i poli della funzione di trasferimento sono n e coincidono con gli autovalori della matrice A. Nel caso, invece, il grado di d sia minore di n, i poli della funzione di trasferimento sono meno di n, ma coincidono sempre con alcuni degli autovalori della matrice A. 10 Fondamenti di automatica Il problema della determinazione di una quaterna (A,b,c T,d) che abbia come modello ARMA un modello ( N p (),D p ()) assegnato è noto come problema della realizzazione (con lo stesso nome si indica anche la quaterna (A,b,c T,d) che risolve il problema). Per affrontare questo tema è, tuttavia, necessario aver approfondito le nozioni di raggiungibilità e osservabilità. Per ora accontentiamoci di affermare (la dimostrazione non è immediata) che una particolare realizzazione, detta in forma canonica di ricostruzione, di un assegnato modello ARMA n n nn n n p p p N. p . p p D 1 1 01 1 ) () ( conD e N anche non primi, è la quaterna 0 12 1 12 1 d 1 0 0 01 0 00 1 00 0 10 0 0 E r T rnnn r nnn r . ... cb A con ,n , i . i i i 1 0 Un’altra realizzazione molto nota, ma valida, tuttavia, solo nel caso di polinomi N e D coprimi (cioè nel caso di modelli ARMA di trasferimento) è la forma canonica di controllo data da 0 1 2 11 2 1 10 0 0 1 0 0 00 1 0 00 0 1 0 d . . . . c n n n T cc n n n c cb A con ,n , i . i i i 1 0 Fondamenti di automatica 11 È opportuno notare che c T c c T c r T r r rd d, , , , , ,b c A c b A perché su questa formula torneremo quando parleremo del principio di dualità. Esempio 3 (numeri di Fibonacci) Si consideri il modello ARMA Dz z z N z z() () 2 11 che, come abbiamo visto, è il modello ARMA dell’allevamento di Fibonacci descritto nell’Esempio 2. Le realizzazioni in forma canonica di controllo e ricostruzione di questo modello ARMA sono Ab ccc c 01 110 1 11 T e Ab crr r 01 111 1 01 T e sono, quindi, diverse dalla terna (A,b,c T) proposta nell’Esempio 2. h Problema 3 (A, I) Si descriva il circuito elettrico riportato in figura come sistema lineare (A,b,c T,d). Indi si determini il modello ARMA e la funzione di trasferimento G(s) del sistema. 12 Fondamenti di automatica Problema 4 (A, II) Si consideri una scuola media in cui u(t) è il numero di diplomati delle elementari nell’annot e y(t) è il numero di diplomati della scuola media nell’anno t. Si supponga che la porzione di bocciati sia la stessa nelle tre classi e la si indichi con E. Si ricavi una formula per effettuare la previsione dei diplomati della scuola media nell’anno t+1 a partire dai dati di diplomati della elementare e della media negli anni t, t-1, t-2,… Problema 5 (A, III) Si consideri il sistema idrico rappresentato in figura, in cui i volumi d’acqua presenti nella falda e nei due laghi sono indicati con ) (1t x, ) (2t x e ) (3t x, la portata di afflusso al primo lago è indicata con ) (t u e le portate di deflusso sono indicate con ) (1 1t x k, ) (2 2t x k e ) (3 3t x k Supponendo che l’uscita di interesse sia la portata di deflusso del primo lago (cioè ) ( ) (2 2t x k t y ), si descriva il sistema con la terna (A,b,c T) e si determini poi il modello ARMA e la funzione di trasferimento del sistema. Si verifichi che il sistema (A,b,c T) è del terzo ordine, il modello ARMA del secondo ordine e la funzione di trasferimento del primo ordine. Problema 6 (T, III) Si verifichi che la funzione di trasferimento di un ritardatore puro (ingresso u(t), uscita y(t)=u(t W)) è G(s)=e Ws. Fondamenti di automatica 13 4. Aggregati di sottosistemi e formula di Mason Spesso alcuni sistemi dinamici interagiscono tra loro e l’aggregato che così si ottiene è, pur esso, un sistema dinamico. Due sistemi dinamici ¦1 e ¦2 possono essere collegati in tre modi: cascata,parallelo e retroazione. Per questo dobbiamo tener conto che se x ()1 e x ()2 sono i vettori di stato di ¦1 e ¦2, il vettore di stato x di ¦ sarà xx x || () ( )12TT T. In particolare, detti ¦ iiiiT i d (,,,),Abc i 12, , i due sottosistemi, siamo interessati a determinare il sistema aggregato ¦ (,, ,).Abc Td Cascata Due sistemi sono collegati in cascata (Fig. 3) quando l’uscita del primo sistema è l’ingresso del secondo. ∑1 ∑2 Figura 3 Due sistemi collegati in cascata Le equazioni di stato di ¦ sono pertanto ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 ) 2 (1 ) 1 ( 1 ) 1 ( t u d t t tt u t t T x c b x A xb x A x mentre la trasformazione di uscita è data da ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 t u d t d t y(t) T T x c x c In conclusione, ¦ è individuato dalla seguente quaterna AA0 bc Abb b ccc 1 21 21 21 21 2 1 2T TTT d dddd Si noti che la matrice A è triangolare a blocchi, per cui i suoi autovalori sono quelli delle matrici A1 e A2. 14 Fondamenti di automatica Parallelo Due sistemi sono collegati in parallelo (Fig. 4) quando hanno l’ingresso in comune e le loro uscite si sommano. ∑ ∑ Figura 4 Due sistemi collegati in parallelo È immediato verificare che l’aggregato ¦ è individuato dalle seguenti quattro matrici AA0 0Abb b ccc 1 21 2 12 12 TTT ddd Anche in questo caso la matrice A è triangolare (anzi diagonale) a blocchi così che i suoi autovalori sono quelli delle matrici A1 e A2. Retroazione Due sistemi sono collegati in retroazione (Fig. 5) quando l’ingresso del primo è la somma di un ingresso esterno u e dell’uscita del secondo e l’ingresso del secondo è l’uscita del primo. ∑ ∑ Figura 5 Due sistemi collegati in retroazione ( ¦1 è in linea di andata e ¦2 in linea di retroazione) Fondamenti di automatica 15 Naturalmente gli aggregati di sottosistemi possono anche essere studiati dal punto di vista esterno. Anzi, il modello ARMA e la funzione di trasferimento di ¦ sono facilmente determinabili a partire dai modelli ARMA e dalle funzioni di trasferimento di tutti i sottosistemi. Per renderci conto di ciò, analizziamo innanzitutto il caso dei collegamenti in cascata, parallelo e retroazione di due sottosistemi. Cascata Con riferimento alla Fig. 3 supponiamo che ¦ 11 1 ((),())N p D p e ¦ 22 2 ((),())N p D p . Ciò significa che il modello ARMA del primo sottosistema è Dpy t N put11 1() () ()() () Applicando, allora, a entrambi i membri di questa relazione l’operatore N p2() e notando che yu() ( )12 otteniamo NpDpu t NpNput212 21() () () () ()() () Ma ND DN 21 1 2 e NN NN 21 12 perché derivare (o anticipare) una funzione prima r volte e poi s volte è equivalente a derivarla (o anticiparla) prima s volte e poi r volte, per cui si può scrivere DpNpu t NpNput122 12() () () () ()() () D’altra parte, la relazione ARMA del secondo sottosistema è Dpyt N pu t222()() () () () per cui, in definitiva, si ottiene D pD py t N pN pu t 12 1 2() ()() () ()() In altre parole, se due sistemi ¦1 e ¦2 sono collegati in cascata, il sistema risultante ¦ è caratterizzato da un modello ARMA individuato dai seguenti due polinomi N p N pN p D p D pD p () () () () () () 12 12 Ciò significa che la funzione di trasferimento G p N p D p () () () di ¦ si ottiene moltiplicando tra loro le due funzioni di trasferimento G p1() e G p2() dei due sottosistemi, cioè 16 Fondamenti di automatica G p G pG p () () () 12 Questo risultato permette di concludere che l’ordine secondo cui i due sottosistemi vengono disposti in cascata non influenza la funzione di trasferimento dell’aggregato. Parallelo Facendo riferimento alla Fig. 4 e procedendo come nel caso del collegamento in cascata è facile dimostrare che la funzione di trasferimento di ¦ è G p G p G p () () () 12 In altre parole, la funzione di trasferimento di un sistema costituito da due sottosistemi collegati in parallelo è la somma delle due funzioni di trasferimento. Retroazione Nel caso di due sistemi ¦1 e ¦2 collegati in retroazione come mostrato in Fig. 5 si perviene, invece, alla formula Gp G p GpG p ()() () () 1 12 1 Questa formula, utilissima per l’analisi dei sistemi retroazionati, vale per il collegamento mostrato in Fig. 5 in cui la retroazione è detta positiva perché il segnale y()2 proveniente dalla retroazione viene sommato al segnale esterno u. Nel caso si faccia, invece, riferimento ad uno schema con retroazione negativa uuy() ( )12 la formula da usare risulta ovviamente Gp G p GpG p ()() () () 1 12 1 Tale formula viene spesso enunciata a parole, dicendo che la funzione di trasferimento di un sistema retroazionato negativamente è il rapporto tra la funzione di trasferimento in linea di andata ( G1) e la funzione di trasferimento d’anello ( GG12 ) aumentata dell’unità. Chiamare funzione di trasferimento d’anello la funzione GG12 è pienamente giustificato, dato che nell’anello i due sistemi ¦1 e ¦2 sono in cascata l’uno all’altro. Fondamenti di automatica 17 Formula di Mason La formula di Mason generalizza quanto appena visto e permette di calcolare la funzione di trasferimento G p () di un qualsiasi aggregato di sottosistemi. Nell’ipotesi che nello schema che definisce l’aggregato siano usati solo nodi sommatori (cioè nell’ipotesi che nell’aggregato vengano soltanto effettuate somme tra segnali) la formula è la seguente ) () ( ) ( ) ( pp p C p G kk k '' ¦ dove Cpk() , ) (p ' e ) (p k' si chiamano, rispettivamente, funzione di trasferimento del k-esimo cammino diretto (cioè non contenente cicli) tra ingresso e uscita, determinante dell’aggregato, e determinante ridotto rispetto al k-esimo cammino diretto. La funzione di trasferimento Cpk() è semplicemente il prodotto delle funzioni di trasferimento di tutti i sistemi che costituiscono il k-esimo cammino diretto. Il determinante ) (p ' è, invece, dato da ¦ ¦ ¦¦¦¦ ' ii ijk j ki jj i i ... p L p L p L p L p L p L p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( dove Lpi() è la funzione di trasferimento dell’i-esimo cammino chiuso (anello), cioè il prodotto delle funzioni di trasferimento di tutti i sistemi che costituiscono l’i-esimo percorso chiuso esistente nell’aggregato. Nella formula, la prima sommatoria è estesa a tutti gli anelli, la seconda alle coppie di anelli disgiunti (cioè che non si toccano) e così via. Infine, il determinante ridotto k' è il determinante 'privato di tutti i termini relativi ad anelli non disgiunti (cioè toccati) dal k-esimo cammino diretto. In alcuni casi può non essere facile individuare tutti i percorsi diretti e tutti gli anelli per ispezione del grafo rappresentante l’aggregato (usualmente chiamato schema a blocchi). In molti casi di interesse pratico, l’applicazione della formula di Mason è tuttavia immediata, soprattutto qualora non esistano anelli disgiunti. Problema 7 (A, I) Si determini la funzione di trasferimento G(z) di un filtro numerico così costituito: l’ingresso (discreto) u(t) viene prima “derivato” (naturalmente in termini “discreti”) e poi mediato uniformemente su tre istanti successivi dando così luogo a y(t). (Si consiglia di rappresentare il filtro con uno schema a blocchi con ritardi unitari 1z e quindi di calcolare G(z)). 18 Fondamenti di automatica Problema 8 (N, I) Determinare, usando la formula di Mason, le due funzioni di trasferimento tra gli ingressiu 1 e u 2 e l’uscita y Problema 9 (N, I) Si calcoli la funzione di trasferimento del seguente sistema Problema 10 (T, II) Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema supponendo che s s s H s G1 ) ( 1 ) ( Fondamenti di automatica 19 Si commenti il risultato, dopo aver notato che G(s) e H(s) sono funzioni di trasferimento di sistemi impropri. 5. Cambiamento di coordinate e sistemi equivalenti La quaterna (A,b,c T,d) con cui si descrive un sistema lineare ¦ dipende, ovviamente, dalle unità di misura prescelte per individuare il tempo e le variabili di ingresso, stato e uscita e dall’ordine di numerazione delle variabili di stato. Ma, fattori di scala e di ordinamento a parte, anche la scelta delle variabili da considerare come variabili di stato non è univoca e si ripercuote pertanto sulla quaterna (A,b,c T,d) che individua un sistema ¦. Ad esempio, in un sistema chimico caratterizzato da due componenti si potrebbero considerare come variabili di stato le concentrazioni x1 e x2 di tali componenti o, alternativamente, la somma z1 e la differenza z2 delle concentrazioni. Naturalmente, la quaterna (A,b,c T,d) corrispondente alle variabili di stato ( x1,x2) sarà diversa da quella corrispondente alle variabili ( z1,z2) anche se il sistema è, dal punto di vista fisico, sempre lo stesso. Per questo motivo le due quaterne sono chiamate equivalenti. Per specificare la relazione esistente tra quaterne equivalenti è pertanto necessario determinare l’effetto di un cambiamento di coordinate zTx perché di questo si tratta in ultima analisi. Nel caso del sistema chimico, ad esempio, il cambiamento di coordinate zTx è dato da z zxx xxx x1 212 121 2 11 11 È immediato verificare che un cambiamento di coordinate zTx trasforma il sistema a tempo discreto (1), (2) nel sistema (detto equivalente) z TAT z Tb cT z () () () () () ()ttut yt t dut T 1 1 1 Analogamente il sistema a tempo continuo (3), (4) viene trasformato nel sistema ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( 11 t u d t t yt u t t T z T cTb z TAT z 20 Fondamenti di automatica Problema 11 (A, II) Il sistema idraulico rappresentato in figura è descritto dalla terna 60 305 . 05 . 0 60 00 30 Tcb A se i volumi sono misurati in 3m , il tempo in minuti e le portate in 3m /minuto. Da che terna è descritto il sistema se i volumi sono misurati in litri, il tempo in secondi e le portate in litri/secondo? 6. Movimento, traiettoria ed equilibrio Fissato lo stato iniziale x()0 e l’ingresso ut() per tt0 , le equazioni di stato (1) e (3) ammettono una unica soluzione x()t per tt0 (il fatto è evidente per i sistemi a tempo discreto, mentre per i sistemi a tempo continuo è conseguenza di risultati classici sull’esistenza e unicità della soluzione delle equazioni differenziali ordinarie). La funzione x()˜ così individuata si chiama movimento, mentre l’insieme { x()t,tt0 } nello spazio di stato R n si chiama traiettoria o orbita. Nel caso dei sistemi a tempo continuo la traiettoria è quindi una linea radicata nel punto x()0 e con un ben preciso verso di percorrenza, quello del tempo (vedi Fig. 6a). Nel caso dei sistemi a tempo discreto la traiettoria è invece una successione ordinata di punti { ), 1 ( ), 0 (x x } che, per motivi di chiarezza, è però consuetudine congiungere con dei segmenti rettilinei orientati come mostrato in Fig. 6b. Fondamenti di automatica 21 Figura 6 Traiettorie in sistemi del secondo ordine: (a) sistema a tempo continuo; (b) sistema a tempo discreto Può accadere che il movimento x()˜ corrispondente a un particolare stato iniziale x()0 e a una particolare funzione d’ingresso sia periodico di periodo T, cioè xx() ( )t t T t (13) In questo caso la traiettoria risulta essere una linea chiusa (ciclo) ripetutamente percorsa ogni T unità di tempo. Un caso particolare di quello dei cicli si presenta quando lo stato del sistema non varia nel tempo, così che il ciclo è rappresentato da un punto x detto stato di equilibrio. A questo proposito diamo la seguente definizione. Definizione 1 (sistema all’equilibrio) Un sistema si dice all’equilibrio se ingresso e stato (e, quindi, anche uscita) sono costanti, cioè se ut u t yt y t () () () xx Il vettore x si chiama stato di equilibrio. Poiché nei sistemi a tempo continuo, xx()t t implica 0 x ) (t , ne consegue che in tali sistemi Ax b 0 u (14) ydu T cx (15) 22 Fondamenti di automatica Se A è non singolare (cioè se de tAz0 o, equivalentemente, se A non ha autovalori nulli), esiste una sola soluzione x della (14) per ogni u e, pertanto, anche una sola soluzione ydella (15), formalmente date da u d y u T b A c b A x1 1 (16) Nel caso A sia invece singolare ( detA 0 ), fissato u o non esistono soluzioni x,y delle (14), (15) o ne esistono infinite. Nel caso dei sistemi a tempo discreto le (14) e (15) devono essere sostituite dalle relazioni ()IAx b cx u ydu T per cui l’unicità dello stato (e dell’uscita) di equilibrio per ogni fissato ingresso u è garantita dalla non singolarità della matrice ( IA ), cioè del fatto che det( )IAz0 o, equivalentemente, dal fatto che A non abbia autovalori unitari. In tale caso si ha u d y u T b A I c b A I x1 1) ( ) ( (17) Le (16) e (17) mostrano comunque che nei casi non singolari il legame tra ingresso di equilibrio e uscita di equilibrio è lineare. Poiché nei sistemi ad un solo ingresso e uscita è d’uso definire il guadagno del sistema come il rapporto P tra uscita e ingresso all’equilibrio P y u ne consegue che per i sistemi a tempo continuo vale la formula P d TcA b 1 mentre per i sistemi a tempo discreto vale la formula P d TcI A b() 1 Fondamenti di automatica 23 Naturalmente, queste stesse formule mostrano che non ha senso parlare di guadagno nei casi singolari. È importante notare che il calcolo del guadagno è immediato quando si conosca la relazione ingresso-uscita (6) di un sistema a tempo continuo, perché la condizione di equilibrio impone yuii() () 0 , ,n , i1 ,yy()0 e uu()0 , per cui P E D n n (18) Nel caso analogo dei sistemi a tempo discreto risulta invece (vedi (5)) ¦ ¦ n ii n ii. 1 0 1 P (19) Si noti che, indicata con G s() la funzione di trasferimento di un sistema a tempo continuo, la (18) è equivalente a P G()0 , per cui il guadagno P è uguale alla funzione di trasferimento valutata per s 0 . Nel caso dei sistemi a tempo discreto con funzione di trasferimento G z () dalla (19) segue invece che P G()1, cioè il guadagno è uguale alla funzione di trasferimento valutata per z 1 . Il calcolo del guadagno è semplice da effettuare anche nel caso di sistemi costituiti da aggregati di sottosistemi ad un solo ingresso e una sola uscita. E’ infatti immediato verificare che il guadagno P di un sistema costituito da due sottosistemi collegati in cascata è il prodotto dei guadagni dei due sottosistemi, cioè P PP 12 mentre per i sistemi collegati in parallelo vale la formula P P P 12 e per i sistemi collegati in retroazione negativa P P PP 1 12 1 24 Fondamenti di automatica 7. Formula di Lagrange e matrice di transizione Dalle equazioni di stato di un sistema lineare segue che lo stato al generico istante t è funzione dello stato all’istante iniziale t 0 , dell’ingresso nell’intervallo di tempo [,)0 t e, ovviamente, della durata t dell’intervallo di tempo considerato. Una soluzione esplicita, nel senso comune del termine, delle equazioni di stato è possibile soltanto in casi particolarmente semplici (tipicamente, sistemi del primo o secondo ordine). La soluzione può essere, tuttavia, specificata e messa in forma particolarmente utile per la comprensione di molti problemi. Nel caso dei sistemi a tempo continuo, la formula è attribuita a Lagrange; per semplicità, daremo lo stesso nome all’analoga formula valida nel caso dei sistemi a tempo discreto. Teorema 1 (formula di Lagrange) In un sistema lineare a tempo continuo ) ( ) ( ) (t u t t b Ax x lo stato x()t per tt0 è dato da (formula di Lagrange) ³ t t t u e e t 0) ( d ) ( ) 0 ( ) (b x x A A (20) dove ! 3 ! 23 3 2 2t t t e t A A A I A (21) Analogamente, in un sistema lineare a tempo discreto xAxb( ) () ()t t ut 1 per tt0 , vale la formula xAx Ab() ( ) ()tui tti it ¦ 0 1 01 (22) detta anch’essa formula di Lagrange. Le formule di Lagrange (20) e (22) possono essere compattamente riscritte come xx() () ( ) () () [,) t t tut ˜)< 0 0 (23) Fondamenti di automatica 25 dove )() t e >T* , la risposta in pratica si dimezza ogni 3 min. Quanto vale la costante di tempo dominante dT del sistema? 50 Fondamenti di automatica 15. Esempio di applicazione: controllo della posizione di un’antenna Un’antenna con momento d’inerzia J e coefficiente d’attrito viscoso h deve poter essere puntata in qualsiasi direzione u e per questo viene guidata, come mostrato nello schema a blocchi di Fig. 11 , da un motore che esercita, a regime, una coppia C proporzionale, secondo un coefficiente (positivo) k, all’errore angolare e dell’antenna, cioè alla differenza tra la posizione desiderata u e la misura 1ˆ x della posizione reale x1 dell’antenna. Figura 11 Schema a blocchi di un sistema di controllo della posizione di un’antenna. È intuitivo immaginare che, affinché l’antenna si porti rapidamente da una posizione di equilibrio (corrispondente a un ingresso costante c u) a una nuova posizione di equilibrio (corrispondente a un nuovo ingresso cc u) si debba usare un motore a elevato guadagno k e, quindi, ad alto costo. Nasce così spontaneamente il problema della scelta di un compromesso tra costo e rapidità del sistema, che possiamo risolvere formalmente facendo riferimento alla nozione di costante di tempo dominante. Infatti, detta xt2() la velocità angolare dell’antenna e supponendo che trasduttore e motore siano così rapidi (rispetto all’antenna) da poter ipotizzare che ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ 1 1 t ke t C t x t x# # il sistema risulta descritto dalle seguenti equazioni >@ ) ( ) ( ) ( 1 ) () ( ) (2 1 22 1t hx t x t u k J t xt x t x cui corrisponde la seguente coppia ( A,b) J k Jh Jk0 1 0 b A Il polinomio caratteristico è dato da Fondamenti di automatica 51 J k Jh Jh Jk ' O O O O O O 2 1 det ) det( ) ( A I A Il sistema è asintoticamente stabile qualsiasi sia k!0 , come si può verificare dal calcolo degli autovalori JkJ h h , 24 2 2 1 r Inoltre, per J / h k k * 42 gli autovalori sono reali mentre per *k k! sono complessi coniugati con parte reale pari a h/2J. La costante di tempo dominante ° ° ¯ ° ° ® t * * 2 24 2 k k hJk k kJ h hJ T d è, pertanto, decrescente rispetto a k se *k k e indipendente da k se *k k!. Poiché il costo del motore è certamente crescente con k, è allora inutile prendere in considerazione motori con *k k!, perché ciò non migliora la rapidità di risposta del sistema. Pertanto, il motore prescelto sarà quello con *k k se il suo costo è accettabile o, altrimenti, un motore più piccolo che, tuttavia, comporterà una riduzione della rapidità di risposta. h 16. Stabilità degli aggregati Un capitolo molto importante della teoria della stabilità è quello relativo allo studio dei sistemi complessi costituiti da sottosistemi opportunamente interconnessi. Al solito, questa teoria è particolarmente sviluppata nell’ambito dei sistemi lineari cui è, appunto, dedicato questo breve paragrafo. Il risultato più semplice è quello relativo ai sistemi in cascata e in parallelo, che dice che un sistema lineare costituito dalla cascata o dal parallelo di due sottosistemi è asintoticamente stabile se e solo se entrambi i sottosistemi sono asintoticamente stabili. La giustificazione di tale risultato è semplice: basta ricordare che gli autovalori dell’aggregato sono la riunione degli autovalori del primo e del secondo sottosistema. L’asintotica stabilità è, pertanto, una proprietà che non può essere creata né distrutta con collegamenti in cascata e parallelo. Essa può invece essere sia creata che distrutta per mezzo di collegamenti in retroazione. A titolo di esempio, mostriamo come collegando in retroazione sistemi asintoticamente stabili si possa ottenere, sotto certe condizioni, un sistema non asintoticamente stabile. 52 Fondamenti di automatica Esempio 8 (sistemi retroazionati del terzo ordine) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in Fig. 12 , costituito da due sottosistemi 61 e 62 collegati in cascata e retroazionati negativamente da un terzo sottosistema 63. Σ ΣΣ Figura 12 Esempio di sistema retroazionato. Tale schema interpreta numerosissime situazioni reali. Ad esempio, 61 potrebbe essere un motore, 62 un’antenna e 63 un trasduttore di posizione, oppure 61 potrebbe essere un impianto di riscaldamento (o raffreddamento), 62 una sala cinematografica e 63 un trasduttore di temperatura, o ancora, 61 potrebbe rappresentare l’anestesista che, in sala operatoria, regola istante per istante il flusso di anestetico iniettato al paziente 62 sulla base della differenza tra il valore ritenuto ottimale ( u) e il valore misurato da un’opportuno strumento 63 di un indicatore fisiologico significativo ( y). In tutti questi casi i sottosistemi 6i sono (per ovvi motivi fisici) asintoticamente stabili e tale "deve" essere il sistema aggregato. Infatti, in caso contrario, anziché tendere verso l’equilibrio desiderato il sistema se ne allontanerebbe con gravi conseguenze. A titolo di esempio, supponiamo che i tre sistemi 6i siano del primo ordine e abbiano stato xi e uscita yi coincidenti. Inoltre, si supponga che, oltre a essere asintoticamente stabili, essi abbiano guadagno iP positivo. Sotto queste ipotesi i tre sottosistemi sono descritti dalle equazioni 2 3 3 3 31 2 2 2 23 1 1 1 1 ) ( x b x a xx b x a xx u b x a x dove 0 ia per asintotica stabilità e 0 ! ib perché il guadagno i i ia b/ P è positivo. La matrice A dell’aggregato è 3 32 21 1 00 0 a b a bb a A per cui Fondamenti di automatica 53 3 2 1 3 2 1 3 1 3 2 2 1 2 3 2 1 33 2 1 3 2 1 3 32 21 1 00 0 det det a a a b b b a a a a a a a a ab b b a a a a ba bb a ' O O OO O O O O O O O A I A I coefficienti 3 2 1, ,D D D del polinomio caratteristico sono pertanto positivi, per cui la condizione necessaria e sufficiente per l’asintotica stabilità è (vedi Esempio 6) 3 2 1D DD ! che, nel caso specifico, diventa 3 2 1 3 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 1a a a b b b a a a a a a a a a ! A tale condizione si può dare una forma più interessante descrivendo ogni sottosistema 6i con il suo guadagno iP e la sua costante di tempo Ti anziché con la coppia ( abii,). Tenendo conto che i i i i iab a T P 1 e indicando con P il guadagno d’anello , cioè il prodotto 3 2 1PPP , la condizione di asintotica stabilità diventa 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § T T T T T T critP P Tale condizione afferma che per avere asintotica stabilità è necessario e sufficiente che il guadagno d’anello P sia inferiore a un valore critico critP . h 17. Esempio di applicazione: controllo dell’alimentazione di un impianto chimico La portata di alimentazione y(t) di un impianto chimico (vedi Fig. 13 ) deve essere mantenuta il più possibile costante e pari a un valore desiderato 1u. La portata y(t) è l’uscita di un serbatoio preceduto da due altri serbatoi uguali alimentati da una portata v(t) che può essere variata per mezzo di un’elettrovalvola. Il terzo serbatoio è anche alimentato da una portata ) (2t u proveniente da un impianto attivato solo saltuariamente. 54 Fondamenti di automatica Figura 13 Schema del sistema di alimentazione di un impianto chimico. All’equilibrio la portata di uscita y è uguale alla portata di alimentazione, per cui se ) (2t u fosse identicamente nullo basterebbe fissare l’alimentazione v al valore costante 1u per ottenere un funzionamento corretto dell’intero impianto. Per compensare le variazioni della portata y(t) provocate dal “disturbo” ) (2t u, si dovrebbe misurare il disturbo (cioè la portata 2u) e agire di conseguenza sull’elettrovalvola variando la portata di alimentazione. Se ciò non è possibile, per esempio perché lo scarico 2u non è accessibile, l’unica possibilità per controbattere le variazioni della portata y(t) provocate dal disturbo è quella di variare per mezzo dell’elettrovalvola la portata v(t) togliendo alla componente fissa 1u un termine proporzionale alla differenza tra la portata y(t) (misurata per mezzo di un opportuno trasduttore) e la portata desiderata u1, cioè >@ 0 ) ( ) ( 1 1 ! k u t y k u t v È intuitivo che, per meglio controbattere i disturbi, si tenda a scegliere un circuito di comando ad alto guadagno k. E’, infatti, immediato constatare che all’equilibrio ) 1 /( 2 1 k u u y cioè l’errore a regime è pari al disturbo diviso per (1+ k)). Ciò è possibile, tuttavia, solo se il sistema rimane asintoticamente stabile per alti valori di k. Per verificare se ciò accade si può applicare il criterio degli autovalori. Per questo si deve dapprima determinare la matrice A. Nell’ipotesi che i tre serbatoi siano uguali, cioè nell’ipotesi Fondamenti di automatica 55 che le tre portate di uscita siano proporzionali, secondo un coefficiente a, ai tre volumi ) (t xi , il sistema è descritto dalle equazioni ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ) ( ( ) ( ) (33 2 2 32 1 21 3 1 1 1t ax t yt ax t u t ax t xt ax t ax t xu t ax k u t ax t x che corrispondono alla seguente matrice A a aa aka a 00 0 A Il polinomio caratteristico della matrice A è 3 3 ) ( 00 0 det ) det( ) (ka a a aa aka a ' O O O O O O A I A Gli autovalori, pertanto, sono le radici dell’equazione 3 3 ) (ka a O e stanno, quindi, sulla circonferenza di centro a e raggio a3k, come mostrato in Fig. 14 . Figura 14 I tre autovalori del sistema di Fig. 13 . La parte reale dei due autovalori complessi coniugati (che sono quelli dominanti) è, quindi, 2 ) Re( 3k a a O per cui la condizione di asintotica stabilità 0 ) Re( O è verificata se e solo se 56 Fondamenti di automatica 8 k All’aumentare del guadagno dell’elettrovalvola il sistema diventa, quindi, più lento fino a diventare addirittura instabile. In conclusione, la scelta del parametro di progetto k dovrà essere il risultato di un compromesso. Infatti, alti valori di k riducono l’effetto del disturbo ma rendono più lenta la risposta del sistema (aumentando la costante di tempo dominante del sistema). h 18. Raggiungibilità e legge di controllo Il movimento di un sistema lineare è dato da ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) () 0 [˜ ,tu t t t x - x cioè da somma di movimento libero e di movimento forzato. Il movimento forzato ° ¯ ° ® ˜¦³ 1 01 0) ( ) , 0 [ ) (d ) ( ) ( ) ( t ii t t t t i u u e u t b Ab A rappresenta, quindi, al variare della funzione d’ingresso ut[,)()0 ˜, l’insieme X tr() di tuttti gli stati raggiungibili all’istante t a partire dall’origine dello spazio di stato. Evidentemente tale insieme X tr() gode della proprietà X t X t t t rr() ( )1212�d Inoltre, si può mostrare che X tr() smette di crescere a partire da un certo istante t , cioè X t X r r () per t tt . Infine, se XRr n si dice che il sistema è completamente raggiungibile . Vale, a questo proposito, il seguente teorema, noto come teorema di Kalman . Teorema 9 (condizione di completa raggiungibilità) Un sistema lineare ( A,b) di ordine n è completamente raggiungibile se e solo se gli n vettori b A Ab b1 , , , n , detti vettori di raggiungibilità, sono linearmente indipendenti. Inoltre, in un sistema completamente raggiungibile ogni stato è raggiungibile dall’origine in un tempo qualsiasi se il sistema è a tempo continuo e in al più n transizioni se il sistema è a tempo discreto. Fondamenti di automatica 57 Spesso questo teorema è formulato facendo riferimento alla matrice di raggiungibilità (detta anche matrice di Kalman) b A Ab b R1 n Tale matrice è quadrata (di dimensione nnu ) e per quanto detto la completa raggiungibilità del sistema è equivalente alla non singolarità di R (cioè all’esistenza di R1). Esempio 9 Si consideri il sistema rappresentato in Fig. 15 costituito da due serbatoi i 12, alimentati in parallelo con una portata ut() , ognuno dei quali ha una portata di uscita proporzionale (secondo un coefficiente ki) al volume d’acqua xti() invasato nel serbatoio. Figura 15 Due serbatoi alimentati in parallelo Per bilancio di massa possiamo scrivere 2 2 2 2 21 1 1 u x k xu x k x che sono le equazioni di stato di un sistema lineare con Ab k k 1 2 0 012 12 La matrice di raggiungibilità è allora 58 Fondamenti di automatica R 12 2 12 2 1 2k k per cui il sistema risulta completamente raggiungibile se e solo se k k 12z . Il motivo di questo risultato è intuitivo, perché nel caso di serbatoi uguali ( k k 12 ) non si riescono a creare sbilanciamenti ( x t x t 12() ()z ) dato che, per ipotesi, si parte da una situazione bilanciata ( x x 12000 () () ). h L’importanza della completa raggiungibilità di un sistema si manifesta qualora si cerchi di modificare la dinamica di questo sistema asservendo il suo ingresso ut() al suo stato x()t per mezzo di una retroazione ut t v t T () () () kx nota come legge di controllo (algebrica e lineare). La Fig. 16 illustra il sistema risultante, detto anche sistema controllato, che ha vt() come nuovo ingresso. Figura 16 Sistema controllato costituito dal sistema ( A,b) e dal controllore kT Il blocco in retroazione, spesso detto controllore , realizza la semplice operazione di somma pesata n nx k x k 1 1 ( kxT t ()) delle variabili di stato. Se il sistema ( A,b) è a tempo continuo il sistema controllato è descritto dalle equazioni di stato v v T T b x bk A x k b Ax x In altre parole, il sistema ( A,b) è stato trasformato, per mezzo del controllore kT, nel sistema controllato ( Abkb T,). È stata così modificata la dinamica del sistema, perché il polinomio caratteristico si è trasformato da ) ( A' in ) (OTbk A' . Ovviamente, le stesse considerazioni valgono per i sistemi a tempo discreto. Ciò premesso è Fondamenti di automatica 59 possibile dimostrare il seguente risultato, che mostra come la completa raggiungibilità sia condizione necessaria e sufficiente per la fissabilità degli autovalori del sistema controllato. Teorema 10 (fissabilità degli autovalori) Gli autovalori del sistema controllato ( Ab k T) possono essere fissati arbitrariamente, per mezzo di un controllore kT, se e solo se il sistema ( A,b) è completamente raggiungibile. Questo teorema dice che la dinamica di un sistema completamente raggiungibile può essere plasmata a piacere asservendo il suo ingresso alle sue variabili di stato. Naturalmente, le conseguenze più spettacolari sono la possibilità di stabilizzare un sistema instabile o di destabilizzarne uno stabile. Poiché la completa raggiungibilità è una proprietà genericamente soddisfatta in un sistema lineare (si pensi all’ Esempio 10 o più in generale, si ricordi che deve essere det R 0 affinché un sistema non sia completamente raggiungibile) si può capire come lo schema di Fig. 14 sia di grande interesse nelle applicazioni. Problema 28 (A, I) Si dica, senza effettuare alcun conto, perché i seguenti quattro sistemi (due elettrici, uno meccanico e uno idraulico) non sono completamente raggiungibili. 60 Fondamenti di automatica Problema 29 (A, II) Un'antenna con momento di inerzia J e soggetta ad attrito viscoso deve poter essere puntata in qualsiasi direzione v e per questo motivo viene guidata da un motore (vedi figura) che esercita una coppia m(t) proporzionale alla tensione di alimentazione ) (t u del motore ( m(t)=D ) (t u) che, a sua volta, dipende oltre che dalla posizione desiderata v anche dalla posizione angolare ) (1t x e dalla velocità angolare ) (2t x dell'antenna. Limitando l'analisi alle leggi di controllo lineari ) ( )) ( ( ) (2 2 1 1t x k t x v k t u si dica se è possibile sintetizzare un controllore (cioè determinare i parametri 1k e 2k) in modo che il sistema risultante abbia dinamica arbitraria (cioè autovalori 1O e 2O fissabili ad arbitrio). Problema 30 (T, I) Verificare che i sistemi in forma canonica di controllo sono completamente raggiungibili. Problema 31 (T, II) Dimostrare che nei sistemi a tempo discreto completamente raggiungibili un qualsiasi stato x può essere raggiunto dall’origine in n transizioni applicando gli ingressi ) 1 ( , ), 1 ( ), 0 ( n u u u dati da x R1 ) 1 () 1 () 0 ( n uu u Fondamenti di automatica 61 Problema 32 (A, II) In una rete elettrica lineare contente due induttori e nessun condensatore sono state misurate le correnti ) (1t i e ) (2t i nei due induttori per un intervallo finito di tempo. Il risultato è illustrato in figura. Si dica se il sistema è completamente raggiungibile. 19. Osservabilità e ricostruzione dello stato L’osservabilità di un sistema dinamico è una proprietà che ha a che fare con la possibilità di risolvere un problema "inverso", quello del calcolo dello stato iniziale x()0 a partire dalla conoscenza delle funzioni di ingresso e uscita nell’intervallo di tempo [,)0 t. Analogamente, la ricostruibilità ha a che fare con la possibilità di calcolare lo stato finale x()t. È ovvio, pertanto, che l’osservabilità implica la ricostruibilità, perché noti x()0 e ut[,)()0 ˜ è possibile calcolare x()t, mentre l’inverso è vero solo se il sistema è reversibile. Per analizzare la tematica dell’osservabilità è opportuno considerare l’uscita libera del sistema ¯ ® discreto tempo a sistemi nei ) 0 (continuo tempo a sistemi nei ) 0 ( ) 0 ( ) ( x A cx c x - c A t Tt T Te t e definire l’insieme X tno() degli stati indistinguibili dall’origine come l’insieme degli stati iniziali x()0 per i quali l’uscita libera è identicamente nulla nell’intervallo [,)0 t. Evidentemente, tale insieme gode della proprietà X t X t t t no no() ( )1212Šd 62 Fondamenti di automatica Inoltre, si può mostrare che X tno() smette di decrescere a partire da un certo istante t , cioé X t X no no() per t t! . Infine, se Xno {}0 , il sistema non ha stati indistinguibili dall’origine e si può mostrare che questa condizione è necessaria e sufficiente per la completa osservabilità del sistema nell’intervallo [, )0t , cioé per la possibilità di calcolare x()0 da ut[,)()0 ˜ e yt[,)()0 ˜.