Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

Lab 2 - Testo Esercizi 2

Laboratory

Matlab - Laboratorio 2Esercizio 1 Sia dato il sistema lineare a tempo continuo dove: d = 0 Usando Simulink, si studi la stabilità del sistema per p = 2, 0.5, 0, 1. Si traccino i corrispondenti quadri delle traiettorie e simulare l’andamento per u = 1. Esercizio 2 Sia dato il sistema lineare a tempo discreto definito dalla funzione di trasferimento Usando Simulink, si studi la stabilità del sistema e si tracci l’andamento nel tempo dell’uscita corrispondente a un ingresso costante u = 1. Esercizio 3 Sia dato l’impianto chimico in figura (già visto a lezione): Si può tracciare lo schema a blocchi seguente: d ++ d + +            t du t cx tyt bu t Ax tx           2 10 p A        2 1 b   11  c  09 .0 12 .07.043 .01.03 23 2    zzz zz zG Utilizzando Simulink, verificare che la stabilità asintotica del sistema è garantita per k < 8. In tale intervallo di stabilità diagrammare l’andamento dell’uscita all’equilibrio al variare di k per ingresso pari a 5 e disturbo unitario. Esercizio 4 Sia dat a la catena alimentare preda predatore in cui x(t) indica la densità di prede e y(t) la densità di predatori. In tale modello si assume che la preda cresca con crescita logistica ( r e K sono, rispettivamente, il tasso intrinseco di crescita e la capacità portante) e che venga predata con risposta funzionale di Holling di ti po II ( a e b sono, rispettivamente, la massima capacità predatoria e la costante di semisaturazione). Il predatore cresce proporzionalmente alla quantità di prede predate (secondo il coefficiente di conversione e) ed è sottoposto a mortalità naturale ( m). Si simuli il modello con Simulink, assumendo i seguenti valori per i parametri: r = 1 K = 10 a = 6 b = 2 e = 0.5 m = 1 Valutare come cambia il comportamento al diminuire del parametro K. Esercizio 5 Sia dat a la catena alimentare preda predatore superp redatore in cui x(t) indica la densità di prede, y(t) la densità di predatori e z(t) la densità di superpredatori. Si simuli il modello con Simulink, assumendo i seguenti valori per i parametri: r = 1 .5 K = 1 a = 5/3 b = 1/3 e = 1 c = 1 /20 d = 1 /2 my = 4/10 f = 1 mz = 1 /100 Esercizio 6 Sia dato il seguente modello di competizione tra due popolazioni di densità x1(t) e x2(t). dove ri e Ki sono, rispettivamente, il tasso intrinseco di crescita e la capacità portante della specie i- esima, mentre  e  i coefficienti di competizione intraspecifica. Come già svolto in classe, verificare con Simulink che per r1 = 1 r2 = 4 K1 = 3 K2 = 2  = 1  = 2 il sistema ammette due equilibri stabili alternativi, ciascuno caratterizzato dalla presenza di una sola popolazione alla propria capacità portante (dominanza alternativa). my yx b ax e y yx b ax K x rx x             1 z m zy d cy f z y m zy d cy yx b ax e y yx b ax K x rx x z y                   1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 1 xx K x xr x xx K x xr x                     Verificare che al diminuire del parametro K1 (K2) il sistema tende semp re verso la dominanza della specie x2 (x1). Verificare che al diminuire de i parametr i K1 e K2 il sistema tende sempre verso la coesistenza all’equilibrio delle due specie. Giustificare tali cambiamenti di comportamento con metodo grafico!