Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

First partial exam

Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prova intermedia Docente: 30 aprile 2010 Cognome: Nome: Matricola: Dati i vettoriv 1=2 41 0 13 5 ,v 2=2 4¡1 2 13 5 : a) Quante sono le matrici ortogonali di ordine 3 la cui prima colonna µe un multiplo scalare div 1e la cui seconda colonna µe un multiplo div 2? b) Determinare una matrice ortogonaleQdi ordine 3 la cui prima colonna µe un multiplo scalare div 1e la cui seconda colonna µe un multiplo div 2. Le righe diQ formano una base ortonormale diR3 ? Si considerino: A=2 41 2¡1¡2 1 1 1 1 1 0 3 43 5 b=2 4b 1 b 2 b 33 5 : a) Sotto quali condizioni il sistemaAx=bha soluzione? b) Determinare una base per ker(A). c) Quando una soluzione esiste, scrivere tutte le soluzioni del sistema nella forma: soluzione particolare piµu soluzioni del sistema omogeneo associato. d) Trovare una base per lo spazio colonna diA. e) Quando il sistema non ammette alcuna soluzione, qual µe il rango della matrice completa [Ajb] ? Date le seguenti a®ermazioni, se ne dia una giusti¯cazione nel caso in cui siano vere e si fornisca un controesempio nel caso in cui siano false. a) se i vettoriv 1; : : : ;v mgenerano un sottospazioUdi uno spazio vettorialeV, allora dimV > m; b) dati due sottospazi di uno spazio vettorialeV, puµo capitare che la loro intersezione sia vuota; c) siaA2M(m; n); il sistemaAx=bammette in¯nite soluzioni ser(A)< n. SiaAuna matrice quadrata. Dimostrare che seA2 = 0 alloraI+Aµe invertibile. Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prova intermedia Docente: 30 aprile 2010 Cognome: Nome: Matricola: Dati i vettoriv 1=2 41 1 ¡13 5 ,v 2=2 40 2 23 5 : a) Quante sono le matrici ortogonali di ordine 3 la cui prima colonna µe un multiplo scalare div 1e la cui seconda colonna µe un multiplo div 2? b) Determinare una matrice ortogonaleQdi ordine 3 la cui prima colonna µe un multiplo scalare div 1e la cui seconda colonna µe un multiplo div 2. Le righe diQ formano una base ortonormale diR3 ? Si considerino: A=2 41 2 3 1 2 0 1 3 ¡1 2 2¡23 5 b=2 4b 1 b 2 b 33 5 : a) Sotto quali condizioni il sistemaAx=bha soluzione? b) Determinare una base per ker(A). c) Quando una soluzione esiste, scrivere tutte le soluzioni del sistema nella forma: soluzione particolare piµu soluzioni del sistema omogeneo associato. d) Trovare una base per lo spazio colonna diA. e) Quando il sistema non ammette alcuna soluzione, qual µe il rango della matrice completa [Ajb] ? Date le seguenti a®ermazioni, se ne dia una giusti¯cazione nel caso in cui siano vere e si fornisca un controesempio nel caso in cui siano false. a) se i vettoriv 1; : : : ;v mgenerano un sottospazioUdi uno spazio vettorialeV, allora dimU=m; b) dati due sottospaziU,Wdi uno spazio vettorialeV, puµo capitare che la loro somma sia uguale aU; c) siaA2M(m; n); se il sistemaAx=0ammette in¯nite soluzioni il rango diA non puµo esseren. SiaAuna matrice quadrata. Dimostrare che seA2 =0alloraA¡Iµe invertibile.