Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

First partial exam

Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prova intermedia Docente: I. Sabadini 28 aprile 2011 Cognome: Nome: Matricola: 2et=b 2¡1 2. Quindi le soluzioni del sistema e sono tutte e sole della forma x=2 6 6 40 0 b 2+1 2 b 2¡1 23 7 7 5+t 12 6 6 4¡1 1 0 13 7 7 5+t 22 6 6 4¡2 0 1 13 7 7 5 d) dim Row(A) = dim Col(A) =r(A) = 2. Una base per Row(A) µe data dalle righe di una ridotta a scala, quindi ad esempiof[1 0 1 1];[0 1 1¡1]g. Una base per Col(A) µe data ad esempio dalle prime due colonne diA, ovverof[0 1 2]T ;[1 0 1]T g. 2. Date le matrici A=2 40 3 3 1 1¡1¡1¡1 1 2 2 03 5 b=2 4b 1 ¡1 b 33 5 ; a) Per qualibil sistemaAx=bammette soluzione? b) Determinare una base perker(A). c) Quando una soluzione esiste, scrivere tutte le soluzioni del sistema nella forma: soluzione particolare piµu soluzioni del sistema omogeneo associato. d) Determinare la dimensione e una base di Row(A) e di Col(A). Soluzione. a) Consideriamo la matrice completa [Ajb] e riduciamo a scala. Abbiamo: 2 40 3 3 1b 1 1¡1¡1¡1¡1 1 2 2 0b 33 5 ¡!2 41¡1¡1¡1¡1 0 3 3 1b 1 1 2 2 0b 33 5 ¡!2 41¡1¡1¡1¡1 0 3 3 1b 1 0 3 3 1b 3+ 13 5 ¡! 2 41¡1¡1¡1¡1 0 3 3 1b 1 0 0 0 0b 3+ 1¡b 13 5 Da cui si deduce cher(A) = 2. Il rango della matrice completa vale 2 seb 3+ 1¡b 1= 0 altrimentir(Ajb) = 3. Per il teorema di Rouch¶e-Capelli, il sistema ammette soluzioni se e solo seb 3+ 1¡b 1= 0. Le soluzioni sono12 ovvero dipendono da 2 parametri. b) Per determinareker(A) occorre risolvere il sistema omogeneoAx=0. In mo- do equivalente si puµo risolvere il sistemaUx=0doveUµe la ridotta a scala diA determinata al punto precedente. Risolviamo quindi il sistema omogeneo ½ x¡y¡z¡t= 0 3y+ 3z+t= 0 2(A¡AT ). Soluzione. a) Abbiamo cheU=fA2M at(3;3)jAT =¡Ag.¶ E immediato che la matrice nulla appartiene aU. Prese due matriciA,B2U, veri¯chiamo che la loro somma sta inU: (A+B)T =AT +BT =¡A¡B=¡(A+B); 2¡ hA;E0 12iE0 12+hA;E0 13iE0 13+hA;E0 23iE0 23¢ =1 2¡ (a 12¡ a 21) E0 12+ ( a 13¡ a 31) E0 13+ ( a 23¡ a 32) E0 23¢ =2 40a 12¡a 21a 13¡a 31 ¡(a 12¡a 21) 0a 23¡a 32 ¡(a 13¡a 31)¡(a 23¡a 32) 03 5 =1 2(A¡AT ):