Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

First partial exam

Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 26 aprile 2012 Cognome: Nome: Matricola: Find a basis of the subspace ofR4 spanned by the vectors 2 6 6 41 3 0 13 7 7 5;2 6 6 41 4 1 13 7 7 5;2 6 6 41 1 ¡2 13 7 7 5;2 6 6 41 2 ¡1 13 7 7 5 Compute the inverse of the matrix A=2 6 6 41 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 13 7 7 5 (b) Find the coordinate vector ofv= [x; y; z; w]T with respect to the basis ofR4 consisting of the columns ofA. LetIdenote the 4£4 identity matrix, and letUbe a 4£4 matrix such thatU4 =O. Show that (I+U)¡1 =I¡U+U2 ¡U3 : LetAandBbem£nmatrices. Show thatrk(A+B)·rk(A) +rk(B). (b) Letvandwbe linearly independent vectors inRn . Show that rk(vvT +wwT ) = 2: Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 26 aprile 2012 Cognome: Nome: Matricola: Determinare una base del sottospazio diR4 generato dai vettori 2 6 6 41 3 0 13 7 7 5;2 6 6 41 4 1 13 7 7 5;2 6 6 41 1 ¡2 13 7 7 5;2 6 6 41 2 ¡1 13 7 7 5 Calcolare l'inversa della matrice A=2 6 6 41 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 13 7 7 5 (b) Determinare il vettore delle coordinate div= [x; y; z; w]T rispetto alla base diR4 formata dalle colonne diA. Siano:Ila matrice identitµa 4£4 eUuna matrice 4£4 tale cheU4 =O. Mostrare che (I+U)¡1 =I¡U+U2 ¡U3 : SianoAeBdue matricim£n. Mostrare cher(A+B)·r(A) +r(B). (b) Sianovewvettori diRn linearmente indipendenti. Mostrare che r(vvT +wwT ) = 2: Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 26 aprile 2012 Cognome: Nome: Matricola: Determinare una base del sottospazio diR4 generato dai vettori 2 6 6 41 1 3 03 7 7 5;2 6 6 41 1 4 13 7 7 5;2 6 6 41 1 1 ¡23 7 7 5;2 6 6 42 1 3 ¡13 7 7 5 Calcolare l'inversa della matrice A=2 6 6 41¡2 3 1 0 1¡2 3 0 0 1¡2 0 0 0 13 7 7 5 (b) Determinare il vettore delle coordinate div= [x; y; z; w]T rispetto alla base diR4 formata dalle colonne diA. Siano:Ila matrice identitµa 4£4 eUuna matrice 4£4 tale cheU4 =O. Mostrare che (I¡U)¡1 =I+U+U2 +U3 : SianoAeBdue matricim£n. Mostrare cher(A+B)·r(A) +r(B). (b) Sianovewvettori diRn linearmente indipendenti. Mostrare che r(vvT +wwT ) = 2: Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 26 aprile 2012 Cognome: Nome: Matricola: Determinare una base del sottospazio diR4 generato dai vettori 2 6 6 41 3 0 13 7 7 5;2 6 6 41 4 1 13 7 7 5;2 6 6 41 0 ¡3 13 7 7 5;2 6 6 42 1 ¡5 13 7 7 5 Calcolare l'inversa della matrice A=2 6 6 41 3 2¡1 0 1 3 2 0 0 1 3 0 0 0 13 7 7 5 (b) Determinare il vettore delle coordinate div= [x; y; z; w]T rispetto alla base diR4 formata dalle colonne diA. Siano:Ila matrice identitµa 4£4 eUuna matrice 4£4 tale cheU4 =O. Mostrare che (I+U)¡1 =I¡U+U2 ¡U3 : SianoAeBdue matricim£n. Mostrare cher(A+B)·r(A) +r(B). (b) Sianovewvettori diRn linearmente indipendenti. Mostrare che r(vvT +wwT ) = 2: Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 26 aprile 2012 Cognome: Nome: Matricola: Determinare una base del sottospazio diR4 generato dai vettori 2 6 6 41 0 ¡3 13 7 7 5;2 6 6 41 3 0 13 7 7 5;2 6 6 41 ¡6 ¡9 13 7 7 5;2 6 6 42 3 ¡3 23 7 7 5 Calcolare l'inversa della matrice A=2 6 6 41¡3 2 1 0 1¡3 2 0 0 1¡3 0 0 0 13 7 7 5 (b) Determinare il vettore delle coordinate div= [x; y; z; w]T rispetto alla base diR4 formata dalle colonne diA. Siano:Ila matrice identitµa 4£4 eUuna matrice 4£4 tale cheU4 =O. Mostrare che (I¡U)¡1 =I+U+U2 +U3 : SianoAeBdue matricim£n. Mostrare cher(A+B)·r(A) +r(B). (b) Sianovewvettori diRn linearmente indipendenti. Mostrare che r(vvT +wwT ) = 2: