Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

First partial exam

(Esercizio da 8 punti) Soluzione da scrivere 2) (Esercizio da 12 punti) (a) Calcolare l'inversa della matrice A=2 6 6 41¡a¡b¡c 0 1¡a¡b 0 0 1¡a 0 0 0 13 7 7 5 (b) Determinare il vettore delle coordinate div= [x; y; z; w]T rispetto alla base diR4 formata dalle colonne diA. (Esercizio da 6 punti) Siano:Ila matrice identitµa 4£4 eUuna matrice 4£4 tale cheU4 =O. Mostrare che (I¡U)¡1 =I+U+U2 +U3 : Per vedere se questa formula si puµo usare per calcolare l'inversa della matriceAdell'e- sercizio precedente occorre scrivere la matriceUtale cheA=I¡U, quindiU=I¡A, e veri¯care seU4 =O. Ora A=2 6 6 41¡a¡b¡c 0 1¡a¡b 0 0 1¡a 0 0 0 13 7 7 5 (Esercizio da 7 punti) (a) SianoAeBdue matricim£n. Mostrare cher(A+B)·r(A) +r(B). (b) Sianovewvettori diRn linearmente indipendenti. Mostrare che r(vvT +wwT ) = 2: D'altra parte per la formula di Grassmann (o semplicemente perch¶e l'unione di una base di Col(A) con una base di Col(B) µe un insieme di generatori di Col(A) + Col(B)) dim(Col(A) + Col(B))·dim(Col(A)) + dim(Col(B)) =r(A) +r(B): Ora osserviamo che Ker(A)\Ker(B)µKer(A+B) : infatti, sexappartiene sia al nucleo diAsia al nucleo diB, allora (A+B)x=Ax+Bx=0+0=0; e n¡dim Ker(A+B)·n¡dim(Ker(A)\Ker(B)): come volevasi dimostrare; nell'ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che Ker(A) + Ker(B), in quanto sottospazio diRn , non puµo avere dimensione maggiore din. Errori comuni nei compiti: dimAnon µe de¯nito (cos'µe la dimensione di una matrice?), A\Bnon µe de¯nito (cos'µe l'intersezione di due matrici ?), una matrice non µe un sottospazio, nµe lo µe la somma di due matrici;n¡Ker(A) non ha senso (di®erenza di un numero e di uno spazio vettoriale); il sottospazio somma Ker(A) + Ker(B) µe ben diverso da Ker(A+B), e Col(A) + Col(B) (somma di sottospazi) puµo non coincidere col suo sottospazio Col(A+B). Ma allora l'immagine diL B=L A±L ATcoincide con l'immagine diL A, ovvero Col(B) = Col(A) per cuir(B) =r(A) = 2. Si osservi che questo argomento mostra che: seAµe una matricen£pdi rangop, allora Col(AAT ) = Col(A) e quindi ancheAAT ha rangop(come in (b) conpvettori al posto di 2).