Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

First partial exam

Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Algebra lineare e geometriaPrima Prova Intermedia Docente: I. Sabadini4 Maggio 2015 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate 1. SiaA=[ 1 2 3 2] e si consideri l'applicazione lineareL:M R(2 ;2)!M R(2 ;2) denita daL(X) =AXXA. a) Scrivere la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonica diM R(2 ;2); b) Determinare nucleo e immagine diLprecisandone la dimensione e una base; c) Stabilire se la matriceB=[ 1 1 31] ammette controimmagini tramiteLe, in caso affermativo determinare la bra sopraB. 2.Si considerino la matriceA=2 6 6 41 3 3 5 0 1 0 2 1 4 3 7 1 2 2 33 7 7 5 e il vettoreb= [3; h;2h+ 1;1]T . a) Determinare per quali valori dih2Ril il sistema lineareAx=bammette soluzioni. b) In corrispondenza dei valori dihtrovati al punto precedente, determinare tutte le soluzioni del sistema. c) Stabilire se il vettorec= [1;2;1;3]T appartiene allo spazio colonna diA. 3.Determinare le equazioni della retta passante per il puntoP(1;0;1) e perpendicolare alla rettardi equazionix+y+z4 = 0,yz1 = 0 e alla rettasdi equazioni 2xy+ 4 = 0,yz= 0. 4. SianoU,W,Zsottospazi di uno spazio vettorialeVsuK. Stabilire se l'uguaglianza U\(W+Z) = (U\W) + (U\Z) e vera o falsa, dimostrando l'affermazione o fornendo un controesempio. (Eventualmen-te usare il retro del foglio). Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Algebra lineare e geometriaPrima Prova Intermedia Docente: I. Sabadini4 Maggio 2015 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate 1. SiaA=[ 1 3 2 2] e si consideri l'applicazione lineareL:M R(2 ;2)!M R(2 ;2) denita daL(X) =AXXA. a) Scrivere la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonica diM R(2 ;2); b) Determinare nucleo e immagine diLprecisandone la dimensione e una base; c) Stabilire se la matriceB=[ 1 3 1 1] ammette controimmagini tramiteLe, in caso affermativo determinare la bra sopraB. 2.Si considerino la matriceA=2 6 6 41 3 5 3 0 1 2 0 1 4 7 3 1 2 3 23 7 7 5 e il vettoreb= [1;2h; h+ 1;3]T . a) Determinare per quali valori dih2Ril il sistema lineareAx=bammette soluzioni. b) In corrispondenza dei valori dihtrovati al punto precedente, determinare tutte le soluzioni del sistema. c) Stabilire se il vettorec= [1;2;1;3]T appartiene allo spazio colonna diA. 3.Determinare le equazioni della retta passante per il puntoP(1;1;0) e perpendicolare alla rettardi equazionix+ 2yz4 = 0,y+z1 = 0 e alla rettasdi equazioni x+ 2y+ 2 = 0,y+z= 0. 4. SianoU,W,Zsottospazi di uno spazio vettorialeVsuK. Stabilire se l'uguaglianza U\(W+Z) = (U\W) + (U\Z) e vera o falsa, dimostrando l'affermazione o fornendo un controesempio. (Eventualmen-te usare il retro del foglio).