Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 2Es. 3Totale Terzo appello Docente: E. Schlesinger 2 febbraio 2010 Cognome: Nome: Matricola: Dato il sistema lineare 8 > < > :x+ 2y+z= 6 x+y¡2z= 2 x+ 3y+ 4z= 4 (a) Calcolare il rango della matrice dei coe±cientiAe della matrice completa [Ajb] del sistema, e dedurre che il sistema non ammette soluzioni. (b) Determinare le soluzioni ai minimi quadrati del sistema. (c) Determinare la proiezione ortogonalepdel termine notobsullo spazio colonna diA, e veri¯care che b¡pµe perpendicolare alle colonne diA. Si consideri la matrice A=· 1¡1 2 2 1¡1¸ (a) Per determinare i valori singolari diAconviene calcolareAT AoAAT ? (b) Si determinino i valori singolari diA. (c) Quali sono il massimo e il minimo assoluti del quoziente di Rayleigh R(x) =xT AT Ax Si consideri la matrice A=2 40 0 1 1 0 0 0 1 03 5 (a) Si spieghi perch¶eAµe la matrice di una rotazione diR3 . Si determinino l'asse e l'angolo di rotazione. (b) Si determinino gli autovalori diA. La matrice µe diagonalizzabile da una matrice complessa? E da una matrice reale? (c) Si determini una matrice ortogonale realeQtale che QT AQ=2 41 0 0 0 cos(µ)¡sin(µ) 0 sin(µ) cos(µ)3 5 Es. 2Es. 3Totale Terzo appello Docente: E. Schlesinger 2 febbraio 2010 Cognome: Nome: Matricola: Dato il sistema lineare 8 > < > :x+y¡2z= 3 x+ 2y+z=¡4 x+ 3y+ 4z= 1 (a) Calcolare il rango della matrice dei coe±cientiAe della matrice completa [Ajb] del sistema, e dedurre che il sistema non ammette soluzioni. (b) Determinare le soluzioni ai minimi quadrati del sistema. (c) Determinare la proiezione ortogonalepdel termine notobsullo spazio colonna diA, e veri¯care che b¡pµe perpendicolare alle colonne diA. Si consideri la matrice A=· ¡2 2 1 1¡1 2¸ (a) Per determinare i valori singolari diAconviene calcolareAT AoAAT ? (b) Si determinino i valori singolari diA. (c) Quali sono il massimo e il minimo assoluti del quoziente di Rayleigh R(x) =xT AT Ax Si consideri la matrice A=2 40 1 0 0 0 1 1 0 03 5 (a) Si spieghi perch¶eAµe la matrice di una rotazione diR3 . Si determinino l'asse e l'angolo di rotazione. (b) Si determinino gli autovalori diA. La matrice µe diagonalizzabile da una matrice complessa? E da una matrice reale? (c) Si determini una matrice ortogonale realeQtale che QT AQ=2 4cos(µ)¡sin(µ) 0 sin(µ) cos(µ) 0 0 0 13 5