Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 2Es. 3Es. 4Es. 5Totale Primo appello Docente: E. Schlesinger 14 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: SiaHil piano diR3 di equazione 3x¡y+z= 0. Scrivere il vettorev=2 41 2 33 5 come somma di un vettore diHe di un vettore perpendicolare adH. Siafe 1;e 2;e 3;e 4gla base canonica diR4 , e siaT:R4 ¡!R4 l'applicazione lineare tale che T(e 1) =e 1;T(e 2) =0;T(e 3) =e 2;T(e 4) =e 3 (a) Scrivere la matriceAche rappresentaTrispetto alla base canonica. (b) Determinare la dimensione dell'immagine diTe una base del nucleo diT. (c) Scrivere la matrice che rappresentaT2 =T±Trispetto alla base canonica. (d) Determinare la dimensione dell'immagine diT2 e una base del nucleo diT2 . (e) Determinare la dimensione dell'immagine diTn e una base del nucleo diTn , per ognin¸3. Per quali valori del parametro realeala matrice A=2 410 2a a 0 9 2 0 2 63 5 Per tali valori si determini, se possibile, una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Si determini il valore minimo del quoziente di Rayleigh R(x; y; z) =10x2 + 9y2 + 4yz+ 6z2 SiaAuna matrice quadrata. Supponiamo che la somma dei coe±cienti di ciascuna colonna sia uguale a 18. Mostrare che 18 µe un autovalore diA. Es. 2Es. 3Es. 4Es. 5Totale Primo appello Docente: E. Schlesinger 14 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: SiaHil piano diR3 di equazionex+ 3y¡z= 0. Scrivere il vettorev=2 43 1 23 5 come somma di un vettore diHe di un vettore perpendicolare adH. Siafe 1;e 2;e 3;e 4gla base canonica diR4 , e siaT:R4 ¡!R4 l'applicazione lineare tale che T(e 1) =0;T(e 2) =e 2;T(e 3) =e 1;T(e 4) =e 3 (a) Scrivere la matriceAche rappresentaTrispetto alla base canonica. (b) Determinare la dimensione dell'immagine diTe una base del nucleo diT. (c) Scrivere la matrice che rappresentaT2 =T±Trispetto alla base canonica. (d) Determinare la dimensione dell'immagine diT2 e una base del nucleo diT2 . (e) Determinare la dimensione dell'immagine diTn e una base del nucleo diTn , per ognin¸3. Per quali valori del parametro realecla matrice A=2 415 2c c 0 11 8 0 8¡13 5 µe diagonalizzabile? Per tali valori si determini, se possibile, una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Si determini il valore minimo del quoziente di Rayleigh R(x; y; z) =15x2 + 11y2 + 16yz¡z2 SiaAuna matrice quadrata. Supponiamo che la somma dei coe±cienti di ciascuna colonna sia uguale a 27. Mostrare che 27 µe un autovalore diA. Es. 2Es. 3Es. 4Es. 5Totale Primo appello Docente: E. Schlesinger 14 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: SiaHil piano diR3 di equazione 3x+y¡z= 0. Scrivere il vettorev=2 41 2 ¡33 5 come somma di un vettore diHe di un vettore perpendicolare adH. Siafe 1;e 2;e 3;e 4gla base canonica diR4 , e siaT:R4 ¡!R4 l'applicazione lineare tale che T(e 1) =e 4;T(e 2) =e 1;T(e 3) =e 3;T(e 4) =0 (a) Scrivere la matriceAche rappresentaTrispetto alla base canonica. (b) Determinare la dimensione dell'immagine diTe una base del nucleo diT. (c) Scrivere la matrice che rappresentaT2 =T±Trispetto alla base canonica. (d) Determinare la dimensione dell'immagine diT2 e una base del nucleo diT2 . (e) Determinare la dimensione dell'immagine diTn e una base del nucleo diTn , per ognin¸3. Per quali valori del parametro realeala matrice A=2 45 2a a 0 3 4 0 4¡33 5 µe diagonalizzabile? Per tali valori si determini, se possibile, una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Si determini il valore minimo del quoziente di Rayleigh R(x; y; z) =5x2 + 3y2 + 8yz¡3z2 SiaAuna matrice quadrata. Supponiamo che la somma dei coe±cienti di ciascuna colonna sia uguale a 36. Mostrare che 36 µe un autovalore diA. Es. 2Es. 3Es. 4Es. 5Totale Primo appello Docente: E. Schlesinger 14 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: SiaHil piano diR3 di equazionex¡y¡3z= 0. Scrivere il vettorev=2 43 1 23 5 come somma di un vettore diHe di un vettore perpendicolare adH. Siafe 1;e 2;e 3;e 4gla base canonica diR4 , e siaT:R4 ¡!R4 l'applicazione lineare tale che T(e 1) =e 2;T(e 2) =e 3;T(e 3) =0;T(e 4) =e 4 (a) Scrivere la matriceAche rappresentaTrispetto alla base canonica. (b) Determinare la dimensione dell'immagine diTe una base del nucleo diT. (c) Scrivere la matrice che rappresentaT2 =T±Trispetto alla base canonica. (d) Determinare la dimensione dell'immagine diT2 e una base del nucleo diT2 . (e) Determinare la dimensione dell'immagine diTn e una base del nucleo diTn , per ognin¸3. Per quali valori del parametro realecla matrice A=2 410 2c c 0 7 6 0 6¡23 5 Per tali valori si determini, se possibile, una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Si determini il valore minimo del quoziente di Rayleigh R(x; y; z) =10x2 + 7y2 + 12yz¡2z2 SiaAuna matrice quadrata. Supponiamo che la somma dei coe±cienti di ciascuna colonna sia uguale a 45. Mostrare che 45 µe un autovalore diA.