Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 2Es. 3Totale Secondo appello Docente: E. Schlesinger 11 settembre 2009 Cognome: Nome: Matricola: SiaAuna matrice di tipo (m; n) di rangor. Si dica se le seguenti a®ermazioni sono vere o false, giusti¯cando le risposte. (a) Se il sistema lineareAx=bammette soluzione per ognib2Rm , allorar=m. (b) Sen=med esisteb 12Rn per cui il sistemaAx=b 1ammette piµu di una soluzione, allora esiste b 22Rn per cui il sistemaAx=b 2non ammette alcuna soluzione. (c) Se esisteb 12Rm per cui il sistemaAx=b 1ammette in¯nite soluzioni, allora il sistemaAx=b ammette in¯nite soluzioni per ognib2Rm . SiaT:R3 ¡!R3 l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice A=2 42 2¡2 2 5 1 ¡2 1 53 5 (a) Si trovino una matrice ortogonaleQe una matrice diagonaleDtali che A=QDQT Si scrivano una base del nucleo e una base dell'immagine diT. (c) Si calcoli la matriceA+ pseudoinversa diA. Una matrice quadrataNsi dicenilpotentese esiste un intero positivomtale cheNm sia la matrice nulla. (a) SiaNuna matrice nilpotente. Si mostri che¸= 0 µe l'unico autovalore diN. (b) Si mostri che una matrice simile a una matrice nilpotente µe nilpotente. (c) SiaNuna matrice nilpotente di ordine 2. Si mostri cheNµe simile a una matriceUdella forma U=· 0b 0 0¸ : SiaU= [u ij] una matrice quadrata di ordinen. Si supponga cheUsia triangolare superiore con gli elementi sulla diagonale principale nulli: u ij= 0 sei¸j : Es. 2Es. 3Totale Secondo appello Docente: E. Schlesinger 11 settembre 2009 Cognome: Nome: Matricola: SiaAuna matrice di tipo (m; n) di rangor. Si dica se le seguenti a®ermazioni sono vere o false, giusti¯cando le risposte. (a) Se il sistema lineareAx=bammette al piµu una soluzione per ognib2Rm , allorar=n. (b) Sen=med esisteb 12Rn per cui il sistemaAx=b 1non ammette alcuna soluzione, allora esiste b 22Rn per cui il sistemaAx=b 2ammette in¯nite soluzioni. (c) Se esisteb 12Rm per cui il sistemaAx=b 1ammette esattamente una soluzione, allora il sistema Ax=bammette esattamente una soluzione per ognib2Rm . SiaT:R3 ¡!R3 l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice A=2 45¡2 1 ¡2 2 2 1 2 53 5 (a) Si trovino una matrice ortogonaleQe una matrice diagonaleDtali che A=QDQT Si scrivano una base del nucleo e una base dell'immagine diT. (c) Si calcoli la matriceA+ pseudoinversa diA. Una matrice quadrataNsi dicenilpotentese esiste un intero positivomtale cheNm sia la matrice nulla. (a) SiaNuna matrice nilpotente. Si mostri che¸= 0 µe l'unico autovalore diN. (b) Si mostri che una matrice simile a una matrice nilpotente µe nilpotente. (c) SiaNuna matrice nilpotente di ordine 2. Si mostri cheNµe simile a una matriceUdella forma U=· 0b 0 0¸ : SiaU= [u ij] una matrice quadrata di ordinen. Si supponga cheUsia triangolare superiore con gli elementi sulla diagonale principale nulli: u ij= 0 sei¸j :