Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 2 Es. 3 Totale Secondo appello Docente: 9 settembre 2010 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1 (14 punti)Si consideri la matrice A=1 22 6 6 41 1¡1 1 1 1 1¡1 ¡1 1 1 1 1¡1 1 13 7 7 5 1a) postoV 1= Ker(A¡I) eV ¡1= Ker(A+I), determinare una base diV 1e una base diV ¡1, e veri¯care che dimV 1+ dimV ¡1= 4; 1b) qual µe il polinomio caratteristico diA? (sugg: utilizzare il punto precedente); determinare se possibile una matrice ortogonaleQe una matrice diagonaleDtali che QT AQ=D; l'insieme delle matrici simmetriche di ordinen µe un sottospazio vettoriale diM ? l'in- sieme delle matrici ortogonali µe un sottospazio vettoriale diM? Giusti¯care la risposta. 2b) mostrare che, sewµe un vettore non nullo diRn , la matrice Q=I¡2 scrivere la matriceQdel punto 2a) quandon= 3 ewµe un vettore perpendicolare al sottospazio di equazionex 1+x 2¡x 3= 0. Mostrare che gli autovalori di una matrice ortogonale hanno modulo uno. 3b) Mostrare che, se¸µe un autovalore di una matrice ortogonale simmetrica, allora¸= 1 oppure¸=¡1. 3c) SiaAuna matrice ortogonale simmetrica di ordinen, e sianoV 1= Ker(A¡I) e V ¡1= Ker(A+I). SianoP 1eP 2le matrici delle proiezioni ortogonali suV 1e su V ¡1. Spiegare perchµe valgono le uguaglianze I=P 1+P 2eA=P 1¡P 2=I¡2P 2 Es. 2 Es. 3 Totale Secondo appello Docente: 9 settembre 2010 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1 (14 punti)Si consideri la matrice A=1 22 6 6 41 1 1¡1 1 1¡1 1 1¡1 1 1 ¡1 1 1 13 7 7 5 1a) postoV 1= Ker(A¡I) eV ¡1= Ker(A+I), determinare una base diV 1e una base diV ¡1, e veri¯care che dimV 1+ dimV ¡1= 4; 1b) qual µe il polinomio caratteristico diA? (sugg: utilizzare il punto precedente); determinare se possibile una matrice ortogonaleQe una matrice diagonaleDtali che QT AQ=D; l'insieme delle matrici simmetriche di ordinen µe un sottospazio vettoriale diM ? l'in- sieme delle matrici ortogonali µe un sottospazio vettoriale diM? Giusti¯care la risposta. 2b) mostrare che, sewµe un vettore non nullo diRn , la matrice Q=I¡2 scrivere la matriceQdel punto 2a) quandon= 3 ewµe un vettore perpendicolare al sottospazio di equazionex 1¡x 2+x 3= 0. Mostrare che gli autovalori di una matrice ortogonale hanno modulo uno. 3b) Mostrare che, se¸µe un autovalore di una matrice ortogonale simmetrica, allora¸= 1 oppure¸=¡1. 3c) SiaAuna matrice ortogonale simmetrica di ordinen, e sianoV 1= Ker(A¡I) e V ¡1= Ker(A+I). SianoP 1eP 2le matrici delle proiezioni ortogonali suV 1e su V ¡1. Spiegare perchµe valgono le uguaglianze I=P 1+P 2eA=P 1¡P 2=I¡2P 2