Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Second partial exam

Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prova intermedia Docente: 1 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: Si considerino la matrice A=2 41 1 1¡2 0 13 5 nT n=4 11[1;¡1;¡3]T 11[7;37;¡10]T Data la matrice A=2 42h2 k1 2 h0 13 5 a) per quali valori dei parametri realih; kla matriceAammette 1 come autovalore? b) in corrispondenza dei valori trovati, discutere quandoAµe diagonalizzabile e de- terminare, quando esiste, una base diR3 formata da autovettori diA. c) postoh= 0,k= 1, esiste una matrice ortogonaleQtale cheQA=DQ, dove D= diag(1;1;2)? La matriceAammette 1 come autovalore se e solo se det(A¡I) = 0. Siccome det(A¡I) = 2h2 , la matrice ha l'autovalore 1 se e solo seh= 0. b) Quandoh= 0, il polinomio caratteristico della matriceAµe¡(¸¡1)2 (¸¡2). La matrice ha quindi l'autovalore semplice¸= 2, e l'autovalore¸= 1 con molteplicitµa algebrica 2. La matrice µe diagonalizzabile se e solo se¸= 2 ha molteplicitµa geometrica 2, cioµe seA¡Iha rango 1. Questo succede se e solo sek= 1. Quindi la matrice µe diagonalizzabile se e solo sek= 1. Postok= 1, l'autospazio relativo a¸= 2 µe la retta di equazionix¡y=z= 0, mentre l'autospazio relativo a¸= 1 µe il piano di equazionix+ 2z= 0. Una base diR3 formata da autovettori diAµe © [1;1;0]T ;[0;1;0]T ;[2;0;¡1]Tª c) Se esistesse una matrice ortogonaleQtale cheQA=DQ, conDdiagonale, allora A=QT DQsarebbe simmetrica. SiccomeAnon µe simmetrica, non esiste una matriceQsi®atta. Si supponga che una matrice quadrataAdi ordine 3 abbia autovalori 0,¡2 e 4 con rispettivi autovettoriu,vew. a) i tre autovettoriu,vewsono linearmente indipendenti? b) determinare una base del nucleo e una base dello spazio colonna diA; c) determinare tutte le soluzioni dell'equazioneAx= 3v¡5w; d) mostrare che l'equazioneAx=unon ha soluzioni. I tre autovettoriu,vewsono linearmente indipendenti perch¶e corrispondono ad autovalori distinti. b) Per ipotesi gli autovalori diAsono semplici, quindi gli autospazi hanno dimen- sione uno. In particolare, il nucleo diA, che µe l'autospazio relativo a¸= 0, ha dimensione 1 e il vettoreuforma una base del nucleo. Lo spazio colonna diAha dimensione 3¡1 = 2 e una sua base µefv;wg:vappartiene allo spazio colonna perch¶ev=1 4Awappartiene allo spazio colonna. (Osservazione: in generale, seAµe una matrice quadrata di ordinendiagonalizza- bile suR, Rn = Ker(A)©Col(A); Siccomeu,vewsono linearmente indipendenti, essi formano una base diR3 e possiamo scrivere x=x 1u+x 2v+x 3w: 2;¡5 4¸ T Se l'equazioneAx=uavesse soluzione, allorauapparterrebbe allo spazio colonna e sarebbe quindi combinazione lineare divew. Questo µe impossibile perch¶eu,v ewsono linearmente indipendenti. SianoA,Bmatrici quadrate di ordinen. a) veri¯care cheABeBAhanno gli stessi autovalori; b) veri¯care che, seBµe invertibile,ABeBAsono simili; c) trovare due matrici quadrateAeBtali cheABeBAnon sono simili. Sia¸un autovalore diBA. Se¸= 0, allora 0 = detBA= detAB Abbiamo cosµ³ dimostrato che ogni autovalore diBAµe anche un autovalore diAB. Scambiando i ruoli diAeB, concludiamo che ogni autovalore diABµe anche un autovalore diBA: le due matrici hanno gli stessi autovalori. b) SeBµe invertibile, allora AB=B¡1 BAB; Siccome la matrice nulla µe simile soltanto a se stessa, basta trovare due matrici il cui prodotto in un ordine sia la matrice nulla, ma nell'ordine opposto sia diverso dalla matrice nulla. Per esempio, posto A=· 0 1 0 0¸ B=· 1 0 0 0¸ ; Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Prova intermedia Docente: 1 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: Si considerino la matrice A=2 42¡2 ¡1 0 1 13 5 nT n=4 3[1;4;2]T 3[¡10;¡4;13]T Data la matrice A=2 41a b b2 0 2 2 23 5 a) per quali valori dei parametri realiaebla matriceAammette 2 come autovalore? b) in corrispondenza dei valori trovati, discutere quandoAµe diagonalizzabile e de- terminare, quando esiste, una base diR3 formata da autovettori diA. c) postoa=¡1 eb= 0, esiste una matrice ortogonaleQtale cheQA=DQ, dove D= diag(1;2;2)? La matriceAammette 2 come autovalore se e solo se det(A¡2I) = 0. Siccome det(A¡2I) = 2b2 , la matrice ha l'autovalore 2 se e solo seb= 0. b) Quandob= 0, il polinomio caratteristico della matriceAµe¡(¸¡2)2 (¸¡1). La matrice ha quindi l'autovalore semplice¸= 1, e l'autovalore¸= 2 con molteplicitµa algebrica 2. La matrice µe diagonalizzabile se e solo se¸= 1 ha molteplicitµa geometrica 2, cioµe seA¡2Iha rango 1. Questo succede se e solo sea=¡1. Quindi la matrice µe diagonalizzabile se e solo sea=¡1. Postoa=¡1, l'autospazio relativo a¸= 1 µe la retta di equazioni 2x+z=y= 0, mentre l'autospazio relativo a¸= 2 µe il piano di equazionix+y= 0. Una base diR3 formata da autovettori diAµe © [1;0;¡2]T ;[1;¡1;0]T ;[0;0;1]Tª c) Se esistesse una matrice ortogonaleQtale cheQA=DQ, conDdiagonale, allora A=QT DQsarebbe simmetrica. SiccomeAnon µe simmetrica, non esiste una matriceQsi®atta. Si supponga che una matrice quadrataAdi ordine 3 abbia autovalori 0, 5 e¡3 con rispettivi autovettoriu,vew. a) i tre autovettoriu,vewsono linearmente indipendenti? b) determinare una base del nucleo e una base dello spazio colonna diA; c) determinare tutte le soluzioni dell'equazioneAx= 4v+ 2w; d) mostrare che l'equazioneAx=unon ha soluzioni. I tre autovettoriu,vewsono linearmente indipendenti perch¶e corrispondono ad autovalori distinti. b) Per ipotesi gli autovalori diAsono semplici, quindi gli autospazi hanno dimen- sione uno. In particolare, il nucleo diA, che µe l'autospazio relativo a¸= 0, ha dimensione 1 e il vettoreuforma una base del nucleo. Lo spazio colonna diAha dimensione 3¡1 = 2 e una sua base µefv;wg:vappartiene allo spazio colonna perch¶ev=1 5Av, e analogamentew=1 (Osservazione: in generale, seAµe una matrice quadrata di ordinendiagonalizza- bile suR, Rn = Ker(A)©Col(A); Siccomeu,vewsono linearmente indipendenti, essi formano una base diR3 e possiamo scrivere x=x 1u+x 2v+x 3w: 5;¡2 3¸ T Se l'equazioneAx=uavesse soluzione, allorauapparterrebbe allo spazio colonna e sarebbe quindi combinazione lineare divew. Questo µe impossibile perch¶eu,v ewsono linearmente indipendenti. SianoA,Bmatrici quadrate di ordinen. a) veri¯care cheABeBAhanno gli stessi autovalori; b) veri¯care che, seBµe invertibile,ABeBAsono simili; c) trovare due matrici quadrateAeBtali cheABeBAnon sono simili.