Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Date le matrici A=2 41 2 3 0 4 0 0 0 43 5 ;B=2 43 1¡1 1 3 1 ¡1 1 33 5 Per trovareSeTtali cheXsia soluzione dell'equazione cercata, basta imporre S¡1 AS= diag(1;4;4) =T¡1 BT: Per quale valore dikesiste una matrice 3£3 simmetrica realeAcon le seguenti proprietµa: gli autovalori diAsono 1, 2 e 3, inoltrev= [1;2;2]T µe un autovettore diA relativo all'autovalore 1, ew= [k;¡1;2]T µe un autovettore diArelativo all'autovalore 2 ? Per tale valore dikdeterminare una matrice simmetricaAcon le proprietµa richieste. cioµek=¡2. Perk=¡2 la matriceAcon le proprietµa richieste esiste ed µe unica: l'autospazio relativo all'autovalore¸= 3 µe la retta ortogonale al piano generato dave w, cioµe la retta generata dal vettorez= [2;¡2;1]. Per il teorema spettrale (P jmatrice di proiezione sull'autospazio relativo a¸ j) A=P 1+ 2P 2+ 3P 3=1 32 47¡2 0 ¡2 6¡2 0¡2 53 5 Esercizio 3 Siafv 1; : : : ;v mgun insieme linearmente indipendente inKn (K=RoC). Dimostrare che il rango della matricen£n A=m X i=1v ivT i µem. Per ipotesi i vettoriv isono linearmente indipendenti, quindiBeBT hanno rangom. Se indichiamo conL Cl'applicazione lineare associata a una matriceC(L C(x) =Cx), alloraL A:Kn !Kn si ottiene applicando primaL BT:Kn !Km e poiL B:Km !Kn . Siccome il rango diBT µem, l'applicazioneL BT:Kn !Km µe suriettiva, per cui l'immagine diL Acoincide con l'immagine diL B. Perciµo r(A) = dim Im(L A) = dim Im(L B) =r(B) =m: Date le matrici A=2 44 2 3 0 1 0 0 0 13 5 ;B=2 42¡1 1 ¡1 2¡1 1¡1 23 5 Per trovareSeTtali cheXsia soluzione dell'equazione cercata, basta imporre S¡1 AS= diag(4;1;1) =T¡1 BT: Per quale valore diaesiste una matrice 3£3 simmetrica realeAcon le seguenti proprietµa: gli autovalori diAsono 2, 1 e 3, inoltrev= [2;2;1]T µe un autovettore diA relativo all'autovalore 2, ew= [a;¡2;2]T µe un autovettore diArelativo all'autovalore 1 ? Per tale valore diadeterminare una matrice simmetricaAcon le proprietµa richieste. cioµea= 1. Pera= 1 la matriceAcon le proprietµa richieste esiste ed µe unica: l'autospazio relativo all'autovalore¸= 3 µe la retta ortogonale al piano generato dav ew, cioµe la retta generata dal vettorez= [2;¡1;¡2]. Per il teorema spettrale (P j matrice di proiezione sull'autospazio relativo a¸ j) A= 2P 1+P 2+ 3P 3=2 32 47 0¡2 0 5 2 ¡2 2 63 5