Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaPrimo Appello Ingegneria Matematica13 luglio 2012 Cognome:Nome:Matricola: •Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate Esercizio 1 (a)SiaB={b 1; b 2; b 3} una base diR3 e siaL:R3 →R3 l'applicazione lineare tale cheL(b 1) = 13 b 1+ 2 b 2+ 4 b 3, L(b 2) = 2 b 1+ 10 b 2+ 2 b 3, L(b 3) = 4 b 1+ 2 b 2+ 13 b 3. Scrivere la matriceAche rappresentaLrispetto alla baseB. Vericare cheAe simmetrica e che= 9 e un autovalore diA. (b) Determinare una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA(suggeri- mento:AeA−9Ihanno gli stessi autovettori). (c) Una matrice di proiezione ortogonale e una matrice simmetrica e idempotente (P2 =P). Determinare due matrici di proiezione ortogonaleP 1e P 2e due numeri reali 1e  2tali che I=P 1+ P 2, A= 1P 1+  2P 2e P 1P 2= O. (d) Scrivere una matrice denita positivaStale cheS2 =A. SoluzioneLa matrice richiesta e A= 13 2 4 2 10 2 4 2 13  che e simmetrica perchea ij= a j i. Sottraendo 9 IadAotteniamo la matrice A−9I= 4 2 4 2 1 2 4 2 4  che ha rango 1. Percio= 9 e un autovalore diAdi molteplicita geometrica 2, e quindi di molteplicita algebrica almeno 2. Siccome la somma degli autovalori diAe 36 = tr(A), il terzo autovalore diAe 3= 36 −2×9 = 18, che ha molteplicita algebrica 1. L'autospazio diArelativo all'autovalore doppio= 9 e il pianoHdi equazione 2x+y+ 2z= 0, l'autospazio relativo all'autovalore= 18 e la retta perpendicolare adH(percheAe simmetrica): siccome [2;1;2]T e ortogonale adH, si tratta della la retta generata dal versoreq 3=1 3[2 ;1;2]T . Una base ortonormale diHsi puo trovare applicando Gram-Schmidt alla base diHformata dai vettoriv 1= [1 ;0;−1]T e v2= [1 ;−2;0]T : b1= v 1; b 2= v 2−< v 2; b 1> ||b2 1||b 1= 1 −2 0 −1 2 1 0 −1 = 1 2 −2 1 2  Si ottiene cos la base ortonormale diR3 {q 1=b 1 ||b 1||; q 2=b 2 ||b 2||; q 3} formata dagli autovettoriq 1=1 p 2[1 ;0;−1]T ,q 2=1 3p 2[1 ;−4;1]T eq 3=1 3[2 ;1;2]T di A. Per il teorema spettrale, le matriciP 1e P 2sono le matrici di proiezione sugli autospazi diA. SiccomeP 2ha rango 1, calcoliamo prima P 2= q 3qT 3e poi P 1= I−P 2: P2=1 9[2 ;1;2]T [2;1;2] =1 9 4 2 4 2 1 2 4 2 4 ;P 1= I−P 2=1 9 5 −2−4 −2 8−2 −4−2 5  VerichiamoA= 9P 1+ 18 P 2e P 1P 2= O: 9P 1+ 18 P 2= 5 −2−4 −2 8−2 −4−2 5 + 2 4 2 4 2 1 2 4 2 4 = 13 2 4 2 10 2 4 2 13 =A P1P 2=1 81 4 2 4 2 1 2 4 2 4  5 −2−4 −2 8−2 −4−2 5 =1 81[2 ;1;2]T [2;1;2] 5 −2−4 −2 8−2 −4−2 5 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0  Esercizio 2 Dati i punti (x 1; y 1) = ( −1;0), (x 2; y 2) = (0 ;2), (x 3; y 3) = (1 ;2) e (x 4; y 4) = (2 ;20), si determini la parabolay(x) =ax2 +bx+cche minimizza l'errore ||b−Ax||2 =4 ∑ k=1( y k− y(x k))2 : Dettaxla soluzione ai minimi quadrati diAx=b, si verichi cheA xe ortogonale a b−A x. SoluzionePoniamox= [a; b; c]T ,b= [y 1; y 2; y 3; y 4]T = [0;2;2;20] eAla matrice 4×3 la cui rigaie [x2 i; x i; 1]: A=   1 −1 1 0 0 1 1 1 1 4 2 1    Il sistemaAx=bda risolvere ai minimi quadrati equivale al sistemma delle equazioni normaliAT Ax=AT b. Calcoliamo AT A= 1 0 1 4 −1 0 1 2 1 1 1 1    1 −1 1 0 0 1 1 1 1 4 2 1   = 18 8 6 8 6 2 6 2 4 ;AT b= 1 0 1 4 −1 0 1 2 1 1 1 1    0 2 2 20   = 2 41 21 12  Dobbiamo quindi risolvere il sistema 9 4 3 4 3 1 3 1 2  a b c = 41 21 12  la cui soluzione e x= [4;2;−1]T Per controllare l'attendibilita di questi conti, verichiamo cheA xsia ortogonale a b−A x. Ora A x=   1 −1 1 0 0 1 1 1 1 4 2 1    4 2 −1 =   1 −1 5 19   ; b−A x=   − 1 3 −3 1    e[1−1 5 19]   − 1 3 −3 1   = −1−3−15 + 19 = 0 Esercizio 3 SiaAuna matrice quadrata reale di ordinen. Si supponga cheA2 =IeA̸ =I, A̸ =−I. Si mostri che (a) (A+I)(A−I) = (A−I)(A+I) =O(nell'equazioneOdenota la matrice nulla); (b) lo spazio colonna diA+I(risp. diA−I) e contenuto nell'autospazio relativo all'autovalore= 1 (risp. nell'autospazio relativo all'autovalore=−1) diA; (c) la matrice identitaIe combinazione lineare delle due matriciA+IeA−I; (d) Rn = Col(A+I) + Col(A−I) eAe diagonalizzabile; (e) quali sono gli autovalori diA? postor=r(A+I), esprimere le molteplicita algebriche degli autovalori diAin funzione diren. Soluzione1. Dimostriamo la prima uguaglianza:(A+I)(A−I) =A2 +IA−AI−I2 =A2 −I2 =I−I=O L'altra uguaglianza si dimostra in modo analogo. 2. Lo spazio colonna diA+Icoincide con l'insieme dei vettori della forma (A+I)x; l'autospazio relativo all'autovalore= 1 diAe l'insieme dei vettorivtali che (A−I)v= 0. Ora, sev= (A+I)xappartiene allo spazio colonna diA+I, (A−I)v= (A−I)(A+I)x=Ox=0 quindivappartiene all'autospazio relativo all'autovalore= 1 diA. 3.la matrice identitaIe combinazione lineare delle due matriciA+IeA−I: I=1 2( A+I)−1 2( A−I) 4. Per ognivdiRn v=Iv=1 2( A+I)v−1 2( A−I)v= (A+I)x+ (A−I)y dovex=1 2v ey=−1 2v . Questo mostra che ogni vettore diRn si scrive come somma di un vettore di Col(A+I) e di un vettore di Col(A−I). Scelte una baseB 1di Col( A+I) e una baseB 2di Col( A−I), l'insiemeB=B 1∪ B 2e quindi un insieme di generatori diRn . MaBe anche linearmente indipendente perche Col(A+I) e Col(A−I) sono contenuti in autospazi relativi ad autovalori distinti diA. Abbiamo cos trovato una base diRn formata da autovettori diA, che quindi e diagonalizzabile. 5. Per il punto precedenteRn e somma diretta di Col(A+I) e Col(A−I), e questi spazi colonna coincidono con gli autospazi diArelativi a=−1 e= 1 rispettivamente. QuindiAha gli autovalori=−1 di molteplicitar=r(A+I) e= 1 di molteplicita n−r.