Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra lineare e GeometriaTerzo Appello Ingegneria Matematica11 febbraio 2013 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate Esercizio 1 Si verifichi che il sistema lineare    2 x+ 3y=1 x+y= 7 4x+ 3y= 5 non ammette soluzione, e se ne determini la soluzione ai minimi quadrati. Si calcoli poi la proiezione ortogonale di [1;7;5]T sul sottospazio diR3 generato dai vettori [2;1;4]T e [3;1;3]T . Soluzione Il sistema non ha soluzioni perch´e la matrice completa del sistema 2 3 1 1 1 7 4 3 5 ha rango tre. Per trovare la soluzione ai minimi quadrati, seAdenota la matrice dei coefficienti delle equazioni del sistema ebil vettore dei termini noti, risolviamo il sistema delle equazioni normaliAT Ax=AT b: { 21x+ 19y= 25 19x+ 19y= 19 Sottraendo la seconda equazione alla prima otteniamox= 3 e quindi sostituendo nella seconda troviamoy=2, quindi la soluzione ai minimi quadrati `ev= [3;2]T . La proiezione ortogonale dibsullo spazio colonna diA`e c=Av= [0;1;6]T : ( lo spazio colonna `e il piano di equazionex6y+z= 0). Esercizio 2 (a)Si verifichi che le colonne della matriceB= 2 36 3 62 62 3 ; considerate come vettori dello spazio euclideoR3 col prodotto scalare standard, sono a due a due perpendicolari. Si calcoli la norma di tali vettori, e si determini l’unico scalarektale che la matriceA=kB`e ortogonale con determinante uguale a uno. (b) SiaA=kBla matrice ortogonale del punto (a). Per il teorema di EuleroA rappresenta una rotazione dello spazio attorno a un asse passante per l’origine. Si determini un versore appartenente all’asse e si calcoli il coseno dell’angolo di rotazione. Infine si determinino gli autovalori della matrice (si osservi che per trovare gli autovalori non `e necessario calcolare il polinomio caratteristico). Soluzione Le colonne diBsono a due a due ortogonali e hanno tutte norma 7; quindi la matrice kB`e ortogonale se e solo sek=1 7. Siccome det( B) = 73 >0, la matriceA=kB`e ortogonale con determinante uguale a uno se e solok=1 7. Un vettore dell’asse di rotazione `e un autovettore diArelativo all’autovalore 1, o, equivalentemente, un autovettore diBrelativo all’autovalore 7, quindi una soluzione non nulla del sistema lineare    5 x+ 3y+ 6z= 0 3xy2z= 0 6x2y4z= 0 Le soluzioni del sistema sono i multipli scalari div= [0;2;1], e i due versori dell’asse sono perci`o1 p 5[0 ;2;1]T . Il coseno dell’angolo di rotazione si trova mediante la relazionetr(A) = 1 + 2 cos() Ora tr(A) =1 7tr( B) =11 7, quindi cos() =2 7 Gli autovalori diAsono 1 e = cos( )isin() =2 7 i3 7p 5 Esercizio 3 SiaV=R[x] 3lo spazio vettoriale dei polinomi reali P(x) di grado minore o uguale a 3. Fissato un numero realea, siaF a: V!Vla funzione definita daF(P(x)) =P(xa). (a) Si mostri cheF a`e lineare. (b) Si scriva la matriceA ache rappresenta F arispetto alla base f1; x; x2 ; x3 gdiV. Si dimostri cheA a`e invertibile, e si scriva A 1 a(suggerimento: A 1 a`e la matrice che rappresenta l’applicazione inversa diF a). (c) Si determininoc 0; c 1; c 2; c 3in modo che 3x+ 2x2 x3 =c 0+ c 1( x2) +c 2( x2)2 +c 3( x2)3 Soluzione La funzioneF`e lineare perch´e per ognit; u; x2R F(tP+uQ)(x) =tP(xa) +uQ(xa) =tF(P)(x) +uF(Q)(x) Poich´eF((x3 )) = (xa)3 =a3 + 3a2 x3ax2 +x3 , l’ultima colonna della matrice Aa`e [ a3 ;3a2 ;3a;1]T . Analogamente si trovano le altre colonne diA a Aa=   1 a a2 a3 0 12a3a2 0 0 13a 0 0 0 1    La matriceA 1 arappresenta l’applicazione inversa di F ache `e F a) perch´e Fa( F a( P(x)) =F a( P(xa) =P(xa+a) =P(x) quindiA 1 a= A a=   1 a a2 a3 0 1 2a3a2 0 0 1 3a 0 0 0 1    Infine, l’equazione3x+ 2x2 x3 =c 0+ c 1( x2) +c 2( x2)2 +c 3( x2)3 significaF2( c 0+ c 1x +c 2x2 +c 3x3 ) = 3x+ 7x2 + 4x3 e quindi   c 0 c1 c2 c3   = A 1 2   3 1 2 1   =   1 2 4 8 0 1 4 12 0 0 1 6 0 0 0 1      3 1 2 1   =   1 5 4 1   