Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Appello Docente: 18 Luglio 2013 Cognome: Nome: Matricola: 31 31 3 1 31 31 3 1 31 31 33 5 ;P 8=Q 8QT 8=2 42 3¡1 3¡1 3 ¡1 32 3¡1 3 ¡1 3¡1 32 33 5 : La decomposizione spettrale cercata µeA=¡1P ¡1+ 8P 8. 3. Dato il sistema lineare 8 > < > :(h+ 1)x+y=h 2x+hy= 1 x+ (1¡h)y= 1(1) a) discutere, al variare dih2R, l'esistenza di soluzioni; b) in corrispondenza dei valori dihper cui il sistema µe risolubile, trovare tutte le soluzioni. c) postoh=¡1 determinare la soluzione ai minimi quadrati. Soluzione. (a) SiaAla matrice dei coe±cienti del sistema e siabil vettore dei termini noti. Per il teroema di Rouchµe-Capelli, il sistema ha soluzione se e solo ser(A) = r(Ajb). Osserviamo cher(A) = 2 per ognih, basta calcolare due minori di ordine 2 e osservare che si annullano in corrispondenza di valori dihfra loro diversi. Il rango della matrice completa puµo essere 3, quindi la condizione necessaria per l'esistenza di soluzioni µe che det(Ajb) = 0. Un semplice calcolo mostra che det(Ajb) = (1¡h)(h¡2)