Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Appello Docente: 11 Settembre 2013 Cognome: Nome: Matricola: 2· 0a 12+a 21 a 12+a 210¸ +· 0 0 0a 22¸ =1 2· 2a 11a 12+a 21 a 12+a 212a 22¸ =1 2(A+AT ): In¯ne, la matrice simmetrica che ha distanza minima dalla matriceAassegnata µe la proiezione diAsuSe dunque µe: P(A) =1 2µ· 1 1 0 0¸ +· 1 0 1 0¸¶ =· 1 1=2 1=2 0¸ : 3. Si determinino il valore massimo e minimo assoluto della funzione R(x; y; z) =8x2 + 2y2 + 9z2 + 4yz¡8xz xT Bx doveA,Bsono le matrici simmetriche A=2 48 0¡4 0 2 2 ¡4 2 93 5 B=2 44 0 0 0 1 0 0 0 13 5 conBde¯nita positiva, come si vede facilmente dal fatto che i suoi autovalori sono tutti positivi. Quindi il massimo e il minimo della funzioneRsi trovano calcolando il massimo e il minimo autovalore della matriceB¡1 AdoveB¡1 = diag(1=4;1;1): B¡1 A=2 42 0¡1 0 2 2 ¡4 2 93 5 : Il polinomio caratteristico det(B¡1 A¡¸I) si spezza come (2¡¸)(¸¡10)(¸¡1) e quindi il valore minimo µe 1 e il massimo µe 10. Equivalentemente, l'esercizio si puµo risolvere ponendoX= 2x. Con questo cambio di variabile si ottiene il quoziente di Rayleigh ~ R(X; y; z) =2x2 + 2y2 + 9z2 + 4yz¡4xz X2 +y2 +z2=yT A0 y yT y; dovey= [X; y; z]T e A0 =2 42 0¡2 0 2 2 ¡2 2 93 5 : I valori cercati corrispondono al minimo e al massimo autovalore diA0 ovvero 1 e 10, rispettivamente.