Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 1:Es. 2:Es. 3:Es. 4:Totale Algebra lineare e Geometria Ingegneria Matematica4 febbraio 2015 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate. NON E' CONSENTITO L'USO DI TELEFONI CELLULARI O DI ALTRI APPARECCHI ELETTRONICI. 1. Per quali valori del parametro realeala matrice A=2 40 2 2 a+ 2 2 2 a1 53 5 e diagonalizzabile? Per tali valori si determini una base diR3 formata da autovettori diA. 2. Sia Vlo spazio euclideo dei polinomi realiP(x) =a 0+ a 1x +a 2x2 di grado minore o uguale a 2, col prodotto scalare ⟨P; Q⟩=∫ 1 0P (x)Q(x)dx: Scrivere il polinomiox2 come somma di un polinomio della formaa+axe di un polinomio ortogonale a 1 +x. 3. Sia fe 1; e 2; e 3; e 4g la base canonica diR4 , e sianoT;U:R4 !R4 le applicazioni lineari denite da T(e 1) = 2 e 1; T(e 2) = 2 e 2+ e 1; T(e 3) = 2 e 3+ e 2; T(e 4) = 5 e 4 eU(e 1) = 2 e 1; U(e 2) = 2 e 2+ e 1; U(e 3) = 5 e 3; U(e 4) = 5 e 4+ e 3 (a) Scrivere le matriciAeBche rappresentanoTeUrispetto alla base canonica. (b) Determinare gli autovalori diAe diBe una base per ciascuno autospazio diAe diB. (c) Stabilire seAeBsono simili. 4. Sia Auna matrice quadrata che soddis l'equazione A3 + 2A2 +A=O: Dimostrare che, seun autovalore diA, allora= 0 oppure=1. Es. 1:Es. 2:Es. 3:Es. 4:Totale Algebra lineare e Geometria Ingegneria Matematica4 febbraio 2015 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate. NON E' CONSENTITO L'USO DI TELEFONI CELLULARI O DI ALTRI APPARECCHI ELETTRONICI. 1. Per quali valori del parametro realeala matrice A=2 40 a+ 2a 2 21 2 2 53 5 e diagonalizzabile? Per tali valori si determini una base diR3 formata da autovettori diA. 2. Sia Vlo spazio euclideo dei polinomi realiP(x) =a 0+ a 1x +a 2x2 di grado minore o uguale a 2, col prodotto scalare ⟨P; Q⟩=∫ 1 0P (x)Q(x)dx: Scrivere il polinomiox2 come somma di un polinomio della formaa+axe di un polinomio ortogonale a 1 +x. 3. Sia fe 1; e 2; e 3; e 4g la base canonica diR4 , e sianoT;U:R4 !R4 le applicazioni lineari denite da T(e 1) = 2 e 1; T(e 2) = 2 e 2+ e 1; T(e 3) = 2 e 3+ e 2; T(e 4) = 5 e 4 eU(e 1) = 2 e 1; U(e 2) = 2 e 2+ e 1; U(e 3) = 5 e 3; U(e 4) = 5 e 4+ e 3 (a) Scrivere le matriciAeBche rappresentanoTeUrispetto alla base canonica. (b) Determinare gli autovalori diAe diBe una base per ciascuno autospazio diAe diB. (c) Stabilire seAeBsono simili. 4. Sia Auna matrice quadrata che soddis l'equazione A4 2A2 +I=O: Dimostrare che, seun autovalore diA, allora= 1 oppure=1.