Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini29 Giugno 2015 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate 1. Dato il sistema lineare8 > < > :x +y= 2 2xy= 0 x+ 3y=1(1) (a) vericare che il sistema e sovradeterminato; (b) scrivere le equazioni normali del sistema e, dopo aver stabilito che la soluzione ai minimi quadrati del sistema e unica, determinarla; (c) determinare il vettore appartenente allo spazio colonna della matrice dei coefficienti del sistema avente distanza minima da [2;0;1]T . 2.SiaA=2 43 1 1 1 4 0 1 0 43 5: (a) Determinare autovalori e autovettori diA. (b) Posto⟨x;y⟩=xT Ay, mostrare che⟨x;y⟩e un prodotto scalare suR3 . (c) Descrivere la frontiera dell'intorno di raggio 1 dell'origine, con la norma indotta dal prodotto scalare appena denito, ossia descrivere l'insieme D=fx2R3 :⟨x;x⟩= 1g: 3.Si consideri la matriceA=2 6 6 4 1 1 1 0 1424 12 1 1 04 133 7 7 5; (a) Trovare la dimensione e una base dei sottospazi Col(A), Row(A), Row(A)? ; (b) SiaBuna matrice quadrata tale che Col(B) = Row(B). E vero che questo implica B=BT ? Dimostrare l'affermazione se e vera o esibire un controesempio se e falsa. 4. (Usare il retro del foglio). SiaAuna matrice quadrata reale di ordine 2. Determinare gli autovalori diAsapendo che det(A3I) = 0, det(A+I) = 0. Determinare poi gli autovalori diAnel caso in cui det(A3I) = 0, det(A+I) = 1.