Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini11 Febbraio 2016 Cognome:Nome:Matricola: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giusticate 1. SiaV=R 2[ x] lo spazio vettoriale reale dei polinomi di grado minore o uguale a 2. (a) vericare che i polinomip 1( x) =x2 3x+ 1,p 2( x) =x2 + 2,p 3( x) =4x+ 1 formano una baseBdiV; (b) vericare cheL:V!Vdenita daL(p(x)) =x2 p′′ (x) +p(0) e un'applicazione lineare; (c) scrivere la matrice rappresentativa diLrispetto alla baseB; (d) scrivere la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonicaf1; x; x2 g. 2.SiaLl'applicazione lineare che, rispetto alla base canonica diR3 , e rappresentata dalla matrice A=2 42 0 2 0 3 0 2 0 23 5: (a) Determinare, se esiste, una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA; (b) determinare il complemento ortogonale del nucleo diA; (c) stabilire se esistono valori dik2Rper i quali il vettore [k;1; k]T appartiene allo spazio immagine diL. 3. (a)Stabilire se le retter:x+y= 0; yz= 0 es:x+z= 1; z= 2 sono complanari o sghembe. (b) Determinare la distanza minima trareds. (c) Determinare il piano che contienere passante per il puntoA(1;0;1). 4. (Usare il retro del foglio). SiaL A: Rn !Rm l'applicazione lineare associata ad una matriceA. a) SiaBtale cheAB=I m. Stabilire se L Ae suriettiva. b) SiaBtale cheBA=I n. Stabilire se L Ae iniettiva.