Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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38Teoremi spettrali e forme quadratiche 4.6Determinare il segno della forma quadratica q(x; y; z) = 5x2 +y2 + 3z2 + 8xz−8yz e dimostrare che la sua restrizione al sottospazioVdi equazionex−2y−2z= 0è de�nita positiva. Soluzione.La matrice rappresentativa della forma rispetto alla base canonica è A=" 5 0 4 0 1−4 4−4 3# :(4.22) Dal momento chedetA=−810dunque uno almeno degli autovalori è positivo; in conclusione,Ae di conseguenzaqè inde�nita. Per esaminare la restrizione diqaVosserviamo che V= ker 1−2−2 =h" 2 1 0# ;" 2 0 1# i(4.23) Se indichiamo conBla matrice le cui colonne sono i generatori diVindicati sopra, allora la restrizione diqaVha matrice rappresentativa, rispetto alla baseB Bt AB= 21 24 24 39 :(4.24) e questa matrice è de�nita positiva perché i suoi minori principali di nord-ovest sonoδ 1= 21>0eδ 2= 243 >0; dunqueq|Vè de�nita positiva. 4.7Calcolare la fattorizzazione di Cholesky della matrice A=" 3−1−1 −1 3−1 −1−1 3# Soluzione.Si osservi anzitutto che una fattorizzazione di Cholesky esiste perchéAè simme- trica e de�nita positiva; infatti minori principali di nord-ovest diAsono δ1= 3 >0; δ 2= 8 >0; δ 3= 16 >0:(4.25) Il metodo più e�ciente per calcolare la fattorizzazione è quello di ridurreAa scala. Lo facciamo indicando a destra della matrice i moltiplicatori. A7→" 3−1−1 08 =3−4 =3 0−4 =38 =3# m21= −1 =3 m31= −1 =37→" 3−1−1 08 =3−4 =3 0 0 2# m32= −1 =2(4.26) Abbiamo dunque la fattorizzazioneA=" 1 0 0 −1 =31 0 −1 =3−1 =21# " 3−1−1 08 =3−4 =3 0 0 2# (4.27) =" 1 0 0 −1 =31 0 −1 =3−1 =21# " 3 0 0 08 =30 0 0 2# " 1−1 =3−1 =3 0 1−1 =2 0 0 1# (4.28) =LDLt :(4.29) Esercizi supplementari39 La fattorizzazione di Cholesky è alloraA=CCt dove C=L√ D =" 1 0 0 −1 =31 0 −1 =3−1 =21#  √ 3 0 0 02 3√ 6 0 0 0√ 2  = √ 3 0 0 −1 3√ 3 2 3√ 6 0 −1 3√ 3 −1 3√ 6 √ 2  :(4.30) Lo stesso risultato può essere ottenuto, anche se più faticosamente, con il teorema spettrale come segue. Il polinomio caratteristico diAè p(x) = (4−x)2 (1−x):(4.31) L’autospazio relativo all’autovalore semplicex= 1è E1= ker( A−I) = ker" 2−1−1 −1 2−1 −1−1 2# =h" 11 1# i:(4.32) Possiamo utilizzare la base diE 1per calcolare le proiezioni sugli autospazi: P1=v v t v t v= 1 3" 1 1 1 1 1 1 1 1 1# P4= I−P 1=1 3" 2−1−1 −1 2−1 −1−1 2# :(4.33) Abbiamo la decomposizione spettraleA= 1P 1+ 4 P 4e qindi A=B2 dove B= 1P 1+ 2 P 4=1 3" 5−1−1 −1 5−1 −1−1 5# :(4.34) Se ortonormalizziamo le colonne diBcon l’algoritmo di Gram-Schmidt otteniamo la fatto- rizzazioneB=QRdove Q=" 5 1 1 −1 7 1 −1−2 4#  3 √ 3 0 0 0 3 √ 6 0 0 0 3√ 2  − 1 (4.35) R=  3 √ 3 0 0 0 3 √ 6 0 0 0 3√ 2  1 9" 3−1−1 0 2−1 0 0 3√ 2# =  √ 3 −1 3√ 3 −1 3√ 3 02 3√ 6 −1 3√ 6 0 0√ 2  (4.36) La fattorizzazione di Cholesky è alloraA=CCt doveC=Rt . 4.8Determinare massimo e minimo, per vettori non nulli diR2 , del quoziente di Rayleigh R(x; y) =x 2 + 4xy+y2 x 2 + 4xy+ 5y2: Soluzione.Le forme quadratiche al numeratore e al denominatore del quoziente hanno ma- trici rappresentative rispetto alle basi canoniche rispettivamente A= 1 2 2 1 ;B= 1 2 2 5 :(4.37) Bè de�nita positiva perché i suoi minori principali di nord-ovestδ 1= 1 eδ 2= 1 sono positivi. Dal teorema di diagonalizzazione simultanea per le forme quadratiche sappiamo che 40Teoremi spettrali e forme quadratiche il massimo e il minimo del quoziente di Rayleigh sono il massimo e il minimo autovalore della matriceB− 1 A= 5−2 −2 1  1 2 2 1 = 1 80−3 :(4.38) Gli autovalori di questa matrice, visibili sulla diagonale perché la matrice è triangolare alta,sonox 1= −3ex 2= 1 e sono, rispettivamente il minimo e il massimo del quoziente. Un’alternativa al calcolo precedente consiste nell’osservare che, seB=Ct Cè la fattorizza- zione di Cholesky,y=CxeDè l’inversa diC, allora R(x) =x t Ax xt Bx= x t Ax (Cx)t (Cx)= y t (Dt AD)y yt y: Il vantaggio di questo termine è che si tratta di un quoziente di Rayleigh standard e la matriceCè triangolare alta, quindiDsi calcolainverte facilmente. Infatti, dalla riduzione a scala abbiamo che B7→ 1 2 0 1 m21= 2B = 1 0 2 1  1 2 0 1 =Ct C(4.39) e quindiD= 1−2 0 1 Dt AD= 1 0 0−3 :(4.40) Questa matrice è già digonale e i suoi autovalori sonox 1= −3ex 2= 1 e rappresentano il minimo e il massimo del quoziente, in accordo con quanto trovato prima. 4.9Classi�care la conica C:x2 + 4xy+y2 + 6x+ 6y+ 5 = 0; determinarne le caratteristiche geometriche fondamentali e scrivere l’equazione di una rototraslazione che la riduce a forma canonica. Soluzione.Facciamo uso della notazione a pagina 489 del testo. La matrice associata aCè B=" 1 2 3 2 1 3 3 3 5# (4.41) e i suoi invarianti ortogonali sonoI 1= 2 ,I 2= −3eI 3= 3 , quindiCè un’iperbole non equilatera. Dal momento cher(A) = 2