Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Algebra lineare e geometria Appello Appello 15 Gennaio 2019 Cognome: Nome: Matricola: •Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit`a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Tutte le risposte devono essere giustificate 1. Si consideri l’applicazione lineare L :R3→ R3definita da L([x, y, z ]T)= ⎡ ⎣ 11 −1 −13 −1 −11 1 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ x y z ⎤ ⎦. (a) Determinare la matrice rappresentativa A di L rispetto alla base B = {[1,1,1]T,[0,1,1]T,[0,0,1]T}; (b) Stabilire se A `e diagonalizzabile e, in caso affermativo, scrivere una matrice P che diagonalizza A; (c) Stabilire per quali valori di k∈ R la matrice A+ kI 3,dove I3`e la matrice identica di ordine 3, `e la matrice rappresentativa di un endomorfismo suriettivo. 11 punti a Abbiamo 11 1 t 1 i 1ITL O 1 1 t o 2 2 2 O 1 1 t 0 O 1 t 1 1 1 I 1 1 1 1 I 2 o o 1 t Quindi per definizione la matrice rappresentativa di L rispetto alla base B è atto Il b La matrice a e triangolare alta e i suoi autori tori sono quindi gli elementi sulla diagonale ovvero 1 2 2 A e diagonalizzabile se e solo se l'auto valore doppio 2 è regolare ovvero se e solo se r a 21 3 2 1 A 2 I f quindi mia 211 1 e la matrice o a e diagonalizzabile conti precedenti mostrano che a 1 i te autovetture di l relativo a 9 nella base B il vettore e corrisponde a 100J Gli autoritari relativi a 2 si trovano risolvendo il sistema formato dall'unica equazione Z 0 si deduce che sono della forma y XII 1 0 III y O 1 O t Una matrice P che diagonalizza A è p c a KI rappresenta un endomorfismo serriettivo se non è singolare ovvero se K non l'auto valore di a Quindi k 1 2 2. Si consideri il sistema lineare ⎧⎪⎨ ⎪⎩ kx + y− z=1 x+(2 − k)y− z= k (k+ 1) x+2 y− (k+ 1) z=2 (a) Discutere, al variare del parametro k∈ R, l’esistenza di soluzioni del sistema; (b) Interpretare geometricamente i risultati ottenuti; (c) Calcolare le soluzioni del sistema, quando queste esistono; (d) Detta A la matrice dei coefficienti del sistema e posto k= −1 calcolare A−1. 12 punti a Il sistema lineare si può scrivere in forma matriciale come A L dove a È È se sistema è formato da 3 equazioni in 3 incognite Facili conti conducono a detta K K 1 2 quindi se k to 1 detta IO e il sistema ammette 1 soluzione per iena di Cramer seno a µ quindi r.c a t 2 in quanto la matrice q g ha determinante non nullo alla FI la matrice evidenziata ha determi mante non nullo quindi rt alta 3 e il sistema non ha soluzione se te e si era a L II quindi relate 1 e b L da cui r Alba 1 Per il teorema di Ronchi capelli il mistero ammette 2 soluzioni b Le 3 equazioni del sistema rappresentano 3 piani nello spazio Peck 0,1 i 3 piani si intersecano n'e un punto Per te O i 3 piani non hanno intersezioni comuni Per te 1 i 3 piani sono coincidenti c Per k 0 1 la soluzione del sistema è data da x i E II Ye 2 out a dita dita da cui ZÉ rete 2 2 kck.pt E pelle 1 2 k K K 1 2 K La soluzione è E i K 1 E t Per k 1 le soluzioni sono espresse ad esempio da terme della forma 1 ht µ µ It d µ EIR d sia a p si ha data 4 e con semplici calcoli si trova a L i 3. Determinare il minimo e il massimo assoluto della funzione R(x, y, z )= 8x2+2 y2+9 z2− 8xz +4 yz 4x2+ y2+ z2 al variare di ( x, y, z )in R3\{ (0,0,0)}. Stabilire, motivando la risposta, se la forma quadratica Q(x, y, z )=8 x2+2 y2+9 z2− 8xz +4 yz `e definita positiva. 4. Sia A una matrice non singolare. Determinare la relazione tra gli autovalori di A e quelli di A−1. Determinare la relazione tra gli autovettori di A equellidi A−1. (Usare il retro del foglio). 6punti Abbiamo che R Xii z Itala con x y ZIT È BI a L D a a il quoziente di Rayleigh RAN z ha come minimo e massimo gli autori alari minimo e massimo della matrice B a 4 a L p 2 0 1 det Cc X Il o a 2 d d 11 10 4 2 9 2 a a 10 A 1 Da cui si deduce che il minimo vale 1 e il massimo io Si giunge allo stesso risultato con il cambio di varia bile 2 y y è 2 e studiando R Y z iÈÉ XIII È QYxi.it X2 y'lzi2 ah y z è definita positiva perché i suoi minori di nord ovest sono positivi 4punti A e non singolare quindi 0 non è un autosalone di A sia a un autovalore to di A ovvero a e e con I e Moltiplichiamo a sinistra entrambi i membri e otteniamo E a a te e poiché 0 possiamo dividere peed ottenendo e A e quindi e antovalore di a Quindi gli autosaloni di a 1 sono tutti esali i reciproci degli autoctoni di A Gli auto vettori di A e a comici dono infatti Aaaaa s A' te