Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Algebra lineare e Geometria { A.A. 2018-2019 Docente:21 giugno 2019 Cognome:Nome:Matricola: Ogni risposta deve essere opportunamente giusticata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, nello spazio disponibile sotto il testo dell'esercizio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1.Si determini, in funzione della coppia di parametri reali (a; b) il numero delle soluzioni del sistema lineare 8 > < > :x 2y+z= 2 x+y+ 2z= 7 2x13y+az=b Per il valore di (a; b) per cui l'insieme delle soluzioni del sistema e una retta`, si determini un'equazione del pianoHche contiene`e il punto (1;1;1).SOLUZIONE ~ 1 di 8~ ~ 2 di 8~ Esercizio 2. SiaVlo spazio vettoriale delle matrici della forma a b 0c dovea,becsono numeri reali. Posto B= 1 2 0 1 , si consideri l'endomorsmoL:V!Vdenito da L(A) =AB+BA: Si verichi cheLha un unico autovalore, e si determini una base del corrispondente autospazio diL. Suggerimento: si ssi una base diVe si facciano i conti sulla matrice rappresentativa diLrispetto a tale base.SOLUZIONE ~ 3 di 8~ ~ 4 di 8~ Esercizio 3. Si consideri la forma quadratica q(x; y; z) =x2 +y2 + 5z2 18xy+ 10xz10yz .DettaAla matrice simmetrica che rappresenta la forma quadraticaq(x; y; z), si verichi che det(A) = 0 e che [1;1;0]T e un autovettore diA. Si determini una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Si calcolino il massimo e il minimo del quoziente di Rayleighq (x; y; z)x 2 +y2 +z2su R3 n f(0;0;0)g. Si calcoli la proiezione ortogonale di [0;0;1]T sullo spazio colonna diA.SOLUZIONE ~ 5 di 8~ ~ 6 di 8~ Esercizio 4. Determinare le matriciAreali simmetriche di ordine 3 tali che: un autospazio diAsia il piano di equazionex+y+z= 0; A2 +A= 6I.SOLUZIONE ~ 7 di 8~ ~ 8 di 8~ Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Algebra lineare e Geometria { A.A. 2018-2019 Docente:21 giugno 2019 Cognome:Nome:Matricola: Ogni risposta deve essere opportunamente giusticata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, nello spazio disponibile sotto il testo dell'esercizio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1.Si determini, in funzione della coppia di parametri reali (a; b) il numero delle soluzioni del sistema lineare 8 > < > :x 2y+z= 3 x+y+ 3z= 10 2x13y+az=b Per il valore di (a; b) per cui l'insieme delle soluzioni del sistema e una retta`, si determini un'equazione del pianoHche contiene`e il punto (1;1;1).SOLUZIONE | 1 di 8| | 2 di 8| Esercizio 2. SiaVlo spazio vettoriale delle matrici della forma a b 0c dovea,becsono numeri reali. Posto B= 1 3 0 1 , si consideri l'endomorsmoL:V!Vdenito da L(A) =AB+BA: Si verichi cheLha un unico autovalore, e si determini una base del corrispondente autospazio diL. Suggerimento: si ssi una base diVe si facciano i conti sulla matrice rappresentativa diLrispetto a tale base.SOLUZIONE | 3 di 8| | 4 di 8| Esercizio 3. Si consideri la forma quadratica q(x; y; z) =x2 +y2 + 4z2 14xy+ 8xz8yz .DettaAla matrice simmetrica che rappresenta la forma quadraticaq(x; y; z), si verichi che det(A) = 0 e che [1;1;0]T e un autovettore diA. Si determini una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA. Si calcolino il massimo e il minimo del quoziente di Rayleighq (x; y; z)x 2 +y2 +z2su R3 n f(0;0;0)g. Si calcoli la proiezione ortogonale di [0;0;1]T sullo spazio colonna diA.SOLUZIONE | 5 di 8| | 6 di 8| Esercizio 4. Determinare le matriciAreali simmetriche di ordine 3 tali che: un autospazio diAsia il piano di equazionex+y+z= 0; A2 + 3A= 4I.SOLUZIONE | 7 di 8| | 8 di 8|