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Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria
Full exam
ESERCIZIO 1 Considera l’applicazione lineare L :R3Ñ R3definita da Lpe1` e2q“´ 6e 1´ 2e 3, Lpe1` e2` e3q“ e1` e2` e3, Lpe2` e3q“ 3e 1` e3. (i) Scrivi la matrice rappresentativa A di Lrispetto alla base canonica E “t e1,e 2,e 3udi R3. (ii) Determina le dimensioni del nucleo e dell’immagine di L. (iii) Calcola gli autovalori e gli autovettori di A e stabilisci se A `e diagonalizzabile su R. (iv) Calcola la controimmagine mediante Ldel sottospazio vettoriale U “ Span ˆ” 1 ´2 ´1 ıT˙ . – 2 – – 3 – ESERCIZIO 2 Considera il sistema lineare descritto dalla matrice » —– 2k 0 ´4k ´2 1 ´1 ´2 0 4k2 0 ´2 2 fi fl dipendente da un parametro kPR. (i) Studia la risolubilit `a del sistema al variare di kP R,motivando la risposta e menzionando dove serve quali teoremi sono stati utilizzati . (ii) Per il valore positivo di kper il quale il sistema non `e risolubile: • risolvi il sistema ai minimi quadrati; • calcola la proiezione ortogonale del vettore del termini noti sullo spazio delle colonne della matrice dei coefficienti. – 4 – – 5 – ESERCIZIO 3 Considera lo spazio euclideo V “ Rrts§2dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali nella indeterminata t, dotato del prodotto scalare x,y:V ˆ V Ñ R definito da xpptq,qptqy “ ª1 0 pptqqptqdt, @ pptq,qptqP V. (i) Determina tutti i polinomi di V ortogonali a pptq“ 2t. (ii) Indicato con U il sottospazio vettoriale di V generato da pptq“ 2t, determina la proiezione ortogonale di qptq“ t2su U. – 6 – – 7 –