Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

ESERCIZIO 1 Considera il seguente sistema lineare dipendente da un parametro aPR $ ’’’& ’’’% 2x`p 1´ aqy“ 1 p2´ aqx` y“ 1´ a x` ay “ 1 . (i) Discuti al variare di aPR la risolubilit `a del sistema e fornisci un’interpretazione geometrica. (ii) Per i valori di aPR per cui il sistema `e risolubile, trova le soluzioni. – 2 – ESERCIZIO 2 Considera lo spazio vettoriale R3con la sua base canonica te1,e2,e3ue l’applicazione lineare L :R3Ñ R3definita da Lpe1q“p 1` kqe1, Lpe2q“ 2e1` e2` e3, Lpe3q“´ e1` ke 3. (i) Determina per quali valori di kPR il vettore ” 3 ´22 ıT `e autovettore di A. (ii) Stabilisci, al variare di kPR, se esiste una base di R3rispetto alla quale la matrice rappresentativa di Lsia diagonale. (iii) Posto k“ 2, determina se esiste una base ortonormale di R3formata da autovettori di L. Motiva adeguatamente la risposta. – 3 – – 4 – ESERCIZIO 3 Considera lo spazio euclideo R4dotato del prodotto scalare standard. Dati i vettori u “ » ————– 1 0 ´1 0 fi fl , v“ » ————– 0 2 1 0 fi fl , w “ » ————– 1 0 0 ´1 fi fl , siano U eV i seguenti sottospazi U “ Span puqK e V “ Span pu,v,wq. (i) Determina un vettore tappartenente a VK tale che tu,v,w,tusia una base di R4,motivando ade- guatamente la risposta . (ii) Determina la dimensione e una base dei sottospazi U X V eU ` V. (iii) Determina la matrice rappresentativa della proiezione ortogonale P su UK. (iv) Determina una base del nucleo di Id ´ P. – 5 – – 6 –