Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Algebra Lineare e Geometria – 1 Settembre 2020 Esercizio 1.Nello spazio euclideoR3 , si considerino la rettardefinita dalle equazioni car- tesiane( x+y=1 2y−z=0 e il pianopdi equazione hx+y+2z=1,h∈R. 1.Stabilire al variare dih∈Rl’esistenza di intersezioni trarep,motivando adeguatamente la risposta. 2.Postoh=5, calcolare la distanza tra il puntoP= (2,−1,−2)della rettare il pianop. 3.Postoh=5, calcolare la distanza tra la rettare il pianop,motivando adeguatamente la risposta. Esercizio 2.Nello spazio vettorialeR4 , si considerino i sottospazi vettoriali U=Span        2 1 1 0    ,    1 1 0 1    ,    0 1 −1 2        . eV=            x yz w    ∈ R4            x −z=0 x+2y+z+2w=0 x+y+w=0        . 1.Determinare una base diUe una base diV,illustrando sinteticamente il procedimento seguito. 2.Stabilire se la sommaU+V` e diretta,motivando adeguatamente la risposta. 3.Descrivere un’applicazione lineareL:R4 →R4 tale che •dim ker(L) =2, •U∩V⊂ker(L)e •im(L) =V. Esercizio 3.Si consideri la matrice A=  1 0 1 0 0a 1 0k−1  , a,k∈R. 1 1.Determinare per quali valori di a,k∈Rla matriceAammette 0 come autovalore di molteplicit` a algebrica 2,motivando adeguatamente la risposta. 2.Postok=2, stabilire per quali valori dia∈R, la matriceA` e diagonalizzabile. 3.Postoa=0, stabilire se esistono valori dik∈Rper cuiA` e simile a B=  0 2 3 0 0 0 0 4 2  , motivando adeguatamente la risposta. 2