logo
  • userLoginStatus

Welcome

Our website is made possible by displaying online advertisements to our visitors.
Please disable your ad blocker to continue.

Current View

Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

ESERCIZIO 1 Considera la matrice A “ » —– 12 24 ´1 ´2 fi fl . (i) Calcola gli autovalori di AA T e determina, se esiste, una base di R3formata da autovettori di AA T. (ii) Dato il vettore b“ ” 130 ıT , risolvi ai minimi quadrati il sistema Ax “ b. (iii) Determina la proiezione ortogonale di b“ ” 130 ıT su col pAq. (iv) Data una matrice A P M Rpm,nqcon m ° n, spiega perch ´e la forma quadratica associata a AA T non `e definita positiva. – 2 – – 3 – ESERCIZIO 2 Nello spazio vettoriale V “ Rrts§3dei polinomi del tipo pptq“ a0` a1t` a2t2` a3t3, considera i sottoinsiemi U “ pptqP V ˇˇp1p0q“ 0, p2p1q“ 0(, W “ pptqP V ˇˇa0´ a1` a3“ 0(, (dove p1,p2indicano rispettivamente la derivata prima e seconda di p). (i) Verifica che U eW sono sottospazi vettoriali di V. Inoltre, calcola la dimensione e una base di U e di W . (ii) Determina la dimensione e una base di U ` W e di U X W . (iii) Verifica che B “t 1´ t2,t´ 2t3,1 ` t,2 t` t3u`e una base di V. (iv) Scrivi la matrice rappresentativa rispetto alla base B dell’applicazione lineare L :V Ñ V definita da L`pptq˘“ `tp ptq˘1. – 4 – – 5 – ESERCIZIO 3 Nello spazio euclideo R3, considera il sistema lineare formato dalle seguenti equazioni $ ’’’& ’’’% x` ky ` z´ 1“ 0 x` y` kz “ 0 2y` kz ´ k“ 0 , kPR. (i) Discuti e interpreta geometricamente la risolubilit `a del sistema lineare al variare di kPR. (ii) Descrivi le soluzioni del sistema lineare per k“ 0. (iii) Stabilisci per quali valori di kP R esiste almeno una retta parallela a tutti e tre i piani corrispon- denti alle tre equazioni del sistema. – 6 – – 7 –