Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Algebra lineare e geometria Appello Docente: 5Luglio2021 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1. Dato il sistema lineare nelle incognite x,yez: 8>< >: x+2 y+az = a+3 2x+3 y+z =2 ax +5 y+2 z =7 a 1. si verifichi che l’insieme delle soluzioni in R3del sistema `e una retta per esattamente due valori a1ea2del parametro a; 2. Sia r1(rispettivamente r2) la retta delle soluzioni del sistema quando a= a1(rispettivamente a= a2). Se le rette r1er2sono incidenti, trovarne l’intersezione. Esercizio 2. Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali quadrate di ordine 2, la cui base canonica `e B= ⇢ E11 = 10 00 ,E 12 = 01 00 ,E 21 = 00 10 ,E 22 = 00 01 . Data la matrice B = 02 20 si consideri l’applicazione lineare L:V ! V definita da L(A)= AB . 1. si scriva la matrice M che rappresenta L rispetto alla base canonica; 2. si determini, se possibile, una base di V formata da autovettori di M . Esercizio 3. Sia V = {P(x)= a+ bx + cx 2:a, b, c 2R}lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado  2, e sia H = {P(x)2V :P(2) = 0 }. 1. si mostri che H `e un sottospazio vettoriale di V; 2. si determini una base di H il cui primo elemento sia P1(x)= x2. 3. posto hP(x),Q (x)i= Z2 0 P(x)Q(x)dx, eP1(x)= x2 come sopra, si determini P2(x) tale che hP1(x),P 2(x)i=0e {P1(x),P 2(x)}sia una base di H. Suggerimento: pu`o essere utile osservare che una primitiva di x(xa)2`e x(xa)3 3 (xa)4 12