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Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Algebra lineare e geometria Appello Docente: 7Febbraio2022 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1. Data la matrice A = 2 4121 01 b 12 b 1 3 5,b 2R, si consideri l’applicazione lineare L:R3! R3data da L([x, y, z ]T)= A[x, y, z ]T. 1. Stabilire per quali valori del parametro b, la funzione L non `e iniettiva e in corrispondenza di tali valori determinare ker( L), precisandone una base. 2. Stabilire per quali valori di b2R la fibra sopra [ b, b +3 ,b ]T`e una retta. In corrispondenza di tali valori di b, determinare la retta. Esercizio 2. Spiegare perch`e esiste un’unica matrice 3 ⇥3 simmetrica reale A con le seguenti propriet`a •il rango di A `e 2; •= 18 `e un autovalore di A, e l’autospazio relativo a tale autovalore `e il piano di R3di equazione 2xy+z= 0. Determinare A, la matrice P della proiezione ortogonale di R3sull’autospazio relativo a = 18 e una base ortonormale di R3formata da autovettori di A. Esercizio 3. Data la matrice A = 2 4143 2h 10 002 h 3 5 1. Stabilire per quali valori di h2R la matrice A ammette 1 come autovalore. 2. In corrispondenza di tale valori di hdeterminare, se esiste, una base di R3formata da autovettori di A. Per il valore di hper cui l’autovalore 1 `e semplice, esiste una base ortonormale di R3formata da autovettori di A ? 3. In corrispondenza del valore di hper cui 1 `e autovalore semplice, determinare gli autovalori di A3+2 A. 4. Posto h= 0 determinare il complemento ortogonale di ker( A) precisandone una base.