Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Algebra Lineare e Geometria – 7 Luglio 2020 Esercizio 1.Si consideri lo spazio euclideoR3 dotato del prodotto scalare standard con base canonicaB={e 1, e 2, e 3} . SiaL:R3 →R3 l’applicazione lineare definita da L(e 1− 2e 3) = e 1, L(e 1− e 2− e 3) = e 1+ 2e 2− e 3, L(e 1+ e 2− 2e 3) = 2e 1. 1.L’insieme di vettoriC={e 1− 2e 3, e 1− e 2− e 3, e 1+ e 2− 2e 3} rappresenta una base diR3 ?Motivare adeguatamente la risposta. 2.Scrivere la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonicaB,illustrando sinte- ticamente il procedimento utilizzato. 3.Determinare una base di ker(L)e una base di im(L),illustrando sinteticamente il proce- dimento utilizzato. 4.Determinare la matricePrappresentativa della proiezione ortogonale su im(L)rispet- to alla base canonicaB,illustrando sinteticamente il procedimento utilizzato. Esercizio 2.Si consideri la matrice A=  2 0 k−2 0 1 1 0 1 1   dipendente da un parametrok∈R. 1.Stabilire per quali valori dik∈Rla matrice` e diagonalizzabile suR,motivando adegua- tamente la risposta. 2.Determinare per quale valore dik∈R, il vettorev=h 1−2 2i T ` e un autovettore diA; per talekdeterminare tutti gli autovettori diA. 3.Perk=1, determinare gli autovalori e gli autovettori diA10 . Esercizio 3.Si consideri il sistema lineare descritto dalla matrice   k 0−2k− 2 1−1−20 k2 0−22    dipendente da un parametrok∈R. 1.Scrivere una matrice a scala ottenuta a partire dalla matrice assegnata applicando ilmetodo di eliminazione di Gauss. 1 2.Studiare la risolubilit ` a del sistema al variare dik∈R,motivando la risposta e menzionan- do dove serve quali teoremi sono stati utilizzati. 3.Per il valore positivodi kper il quale il sistemanon` e risolubile, •determinare la proiezione ortogonale del vettore dei termini noti sullo spaziodelle colonne della matrice dei coefficienti; •scrivere la matrice del sistema che si utilizza per il calcolo delle soluzioni ai mini-mi quadrati,illustrando sinteticamente il procedimento utilizzato. 2