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Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria
Full exam
Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte BTerzo appello Docente:7 settembre 2023 Cognome:Nome:Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1.Si considerino: lo spazio vettorialeVdelle matrici reali 2×2 , la matriceB= 0 2 2 0 , eL:V→Vla funzione definita dalla formulaL(A) =AB−BA. 1.Si identifichi una matriceA= x y z w con il vettore [x, y, z, w]T ∈R4 delle coordinate diArispetto alla base canonica diV, e si scrivano le coordinate diL(A). Dalla formula si deduca cheL`e lineare, e si scriva la matrice MdiLrispetto alla base canonica. 2.si determinino il rango diMe una base del suo nucleo. 3.si calcolino autovettori e autovalori diM, e, se possibile, una base ortonormale (rispetto al prodotto standard) diR4 formata da autovettori diM. ♡1 di 3♡ Esercizio 2. Considera la matrice reale A= 1 0 −2 1 2−3 1 1 −1 3−3 0 ∈M R(3 ,4). (i)Calcola le soluzioni del sistema omogeneoAx= 0. (ii)Calcola le soluzioni del sistema lineareAx= 0 1−1 T . (iii)Costruisci una baseB={v1 , v2 , v3 , v4 } dello spazio vettorialeR4 contenente una base del nucleo ker(A) e una soluzione del sistema lineare studiato al punto(ii). (iv)Determina un vettoreb∈ R3 tale che •il sistemaAx= bnon sia risolubile; •le soluzioni calcolate al punto(ii)siano le soluzioni ai minimi quadrati diAx= b. ♡2 di 3♡ Esercizio 3. (i)DateAeBmatrici reali 2×2, si calcoli la traccia diAT Be si deduca che ⟨A, B⟩= tr(AT B) definisce un prodotto scalare sullo spazio vettorialeVdelle matrici reali 2×2. (ii)Si ricordi che una matrice si dice antisimmetrica seBT =−B. SiaHil sottospazio diVformato dalle matrici simmetriche, eKquello delle matrici antisimmetriche. Si mostri cheK`e il complemento ortogonale diHrispetto al prodotto scalare del punto (i), e si determini una base ortonormale di (V,⟨,⟩) composta da matrici che siano simmetriche o antisimmetriche. (iii)Data una matriceAinVsi calcoli la proiezione ortogonaleA Hdi Asul sottospazioHdelle matrici simmetriche, rispetto al prodotto scalare del punto (i). ♡3 di 3♡