Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Algebra lineare e Geometria – A.A. 2021-2022 Docente: 8 settembre 2021 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, nello spazio disponibile sotto il testo dell’esercizio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1. Sia B = {e1,e2,e3}la base canonica di R3. Per ogni numero reale ksia Lk:R3! R3l’applicazione lineare definita da Lk(e1)= 2 4 4 2 k+1 3 5 Lk(e2)= 2 4 4 2 1k 3 5,L k(e3)= 2 4 12 4 32k 3 5 a) Determinare una base di ker( Lk) e una base di im( Lk) per ogni k. b) Determinare per quali valori di kil vettore [2 k,1,2]Tappartiene all’immagine di Lk. Esercizio 2. Si stabilisca per quali valori del parametro reale kla matrice A = 2 470 18 k 16 30 8 3 5 `e diagonalizzabile. Per tali valori si trovi una matrice S tale che S1AS `e una matrice diagonale D,esiscrivala matrice D. Esercizio 3. Spiegare perch´e esiste un’unica matrice 3 ⇥3 simmetrica reale A con le seguenti propriet`a •il rango di A `e 2; •= 6 `e un autovalore di A, e l’autospazio relativo a tale autovalore `e il piano di R3di equazione x+y+2 z= 0. Determinare A, la matrice P della proiezione ortogonale di R3sull’autospazio relativo a = 6 e una base ortonormale di R3formata da autovettori di A. ~1di1 ~