Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte BQuinto appello Docente:10 febbraio 2024 Cognome:Nome:Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1.Data la matriceA= 0 0 1 0−1 0 1 0 0 , 1.si calcoliA2 ; 2.si determinino, se possibile, una matrice ortogonaleQe una matrice diagonaleDtali cheD=Q− 1 AQ; 3.si descriva geometricamente l’applicazione lineareL A: R3 →R3 associata alla matriceAdalla formulaL A( v) = Av. ♡1 di 3♡ Esercizio 2. Nello spazio euclideo tridimensionale (R3 con il prodotto scalare standard) si considerino i puntiP 1= (1,1,1),P 2= (6 ,1,−1),P 3= (2 ,3,1) eP 4= (5 , k,−2) (dovek`e un parametro reale). 1.Si verifichi che esiste un unico pianoHinR3 che contenga i tre puntiP 1, P 2e P 3e se ne determini una equazione. 2.Si determinino gli eventuali valori dikper cui la distanza tra il pianoHe il puntoP 4`e uguale a 1. 3.Postok= 3, si determini la distanza tra la rettaP 1P 2e la retta P 3P 4. Le due rette sono sghembe? Giustificare la risposta. ♡2 di 3♡ Esercizio 3. SiaVlo spazio vettoriale delle matrici reali 2×2. Data la matriceB= 1 1 −1−1 , si consideri la funzioneL:V→Vdefinita daL(A) =AB−BA. 1.Si verifichi cheL`e lineare. 2.Si determinino basi e dimensione dei quattro sottospazi Ker(L), Im(L), Ker(L)∩Im(L), Ker(L) + Im(L). 3.Si calcoli il polinomio caratteristico diLe si determini se esiste una base diVformata da autovettori diL. Cosa si pu`o dire diL4 =L◦L◦L◦L? 4.Si calcolinoB2 eL3 =L◦L◦L. ♡3 di 3♡