Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Docente:10 giugno 2024 Cognome:Nome:Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. ♡1 di 3♡ Esercizio 1. Si consideri la forma quadratica: q(x, y, z) =−x2 −y2 +4z2 +6xy+4xz+ 4yz. 1.Si scriva la matrice simmetricaAassociata alla forma quadraticaq. 2.Si determini la decomposizione spettrale della matriceA. 3.Si calcolino il valore minimome il valore massimoMdella funzioneqristretta alla sfera dei versori S2 = v∈R3 ∥v∥= 1 . 4.Si determinino due versoriv m, v M∈ S2 tali cheq(v m) = meq(v M) = M. ♡2 di 3♡ Esercizio 2. Si consideri l’applicazione lineareL:R[t] ⩽3→ R[t] ⩽3definita da L(1 +t) =α t, L(t) =α t, L(1 +t2 ) = 2−α t2 , L(−1 +t3 ) = 2−2t2 −(α−2)t3 , doveα`e un parametro reale. (i)Si scriva la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonica 1, t, t2 , t3 . (ii)Si calcolino la dimensione del nucleo diLe il rango diLal variare diα∈R. (iii)Si determini per quali valori diα∈Ril rango diL2 =L◦L`e strettamente pi`u piccolo del rango diL. ♡3 di 3♡ Esercizio 3. Data la matrice A=   1 3 3 012 − 514 0−514 12     1.si determinino una matrice invertibileSe una matrice diagonaleDtali cheS− 1 AS=D. 2.si calcoliS− 1 . 3.si calcoli limn→+∞A n . ♡4 di 3♡ Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Docente:10 giugno 2024 Cognome:Nome:Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. ♣1 di 3♣ Esercizio 1. Si consideri la forma quadratica: q(x, y, z) =x2 +y2 −4z2 −6xy+4xz+ 4yz. 1.Si scriva la matrice simmetricaAassociata alla forma quadraticaq. 2.Si determini la decomposizione spettrale della matriceA. 3.Si calcolino il valore minimome il valore massimoMdella funzioneqristretta alla sfera dei versori S2 = v∈R3 ∥v∥= 1 . 4.Si determinino due versoriv m, v M∈ S2 tali cheq(v m) = meq(v M) = M. ♣2 di 3♣ Esercizio 2. Si consideri l’applicazione lineareL:R[t] ⩽3→ R[t] ⩽3definita da L(1 +t) =α t, L(t) =α t, L(−1 +t2 ) = 2−α t2 , L(−1 +t3 ) = 2−2t2 −(α−2)t3 , doveα`e un parametro reale. (i)Si scriva la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonica 1, t, t2 , t3 . (ii)Si calcolino la dimensione del nucleo diLe il rango diLal variare diα∈R. (iii)Si determini per quali valori diα∈Ril rango diL2 =L◦L`e strettamente pi`u piccolo del rango diL. ♣3 di 3♣ Esercizio 3. Data la matrice A=   1 −3 3 012 514 0514 12     1.si determinino una matrice invertibileSe una matrice diagonaleDtali cheS− 1 AS=D. 2.si calcoliS− 1 . 3.si calcoli limn→+∞A n . ♣4 di 3♣ Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Docente:10 giugno 2024 Cognome:Nome:Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. ♢1 di 3♢ Esercizio 1. Si consideri la forma quadratica: q(x, y, z) = 3x2 +3y2 +4z2 −2xy+4xz+ 4yz. 1.Si scriva la matrice simmetricaAassociata alla forma quadraticaq. 2.Si determini la decomposizione spettrale della matriceA. 3.Si calcolino il valore minimome il valore massimoMdella funzioneqristretta alla sfera dei versori S2 = v∈R3 ∥v∥= 1 . 4.Si determinino due versoriv m, v M∈ S2 tali cheq(v m) = meq(v M) = M. ♢2 di 3♢ Esercizio 2. Si consideri l’applicazione lineareL:R[t] ⩽3→ R[t] ⩽3definita da L(t2 +t3 ) =α t2 , L(t2 ) =α t2 , L(t+t3 ) =−α t+ 2t3 , L(1−t3 ) =−α+ 2−2t+ 2t3 , doveα`e un parametro reale. (i)Si scriva la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonica 1, t, t2 , t3 . (ii)Si calcolino la dimensione del nucleo diLe il rango diLal variare diα∈R. (iii)Si determini per quali valori diα∈Ril rango diL2 =L◦L`e strettamente pi`u piccolo del rango diL. ♢3 di 3♢ Esercizio 3. Data la matrice A=   1 2 2 012 − 310 0−310 12     1.si determinino una matrice invertibileSe una matrice diagonaleDtali cheS− 1 AS=D. 2.si calcoliS− 1 . 3.si calcoli limn→+∞A n . ♢4 di 3♢ Es. 1Es. 2Es. 3Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Docente:10 giugno 2024 Cognome:Nome:Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. ♠1 di 3♠ Esercizio 1. Si consideri la forma quadratica: q(x, y, z) = 3x2 +4y2 +3z2 +4xy−2xz+ 4yz. 1.Si scriva la matrice simmetricaAassociata alla forma quadraticaq. 2.Si determini la decomposizione spettrale della matriceA. 3.Si calcolino il valore minimome il valore massimoMdella funzioneqristretta alla sfera dei versori S2 = v∈R3 ∥v∥= 1 . 4.Si determinino due versoriv m, v M∈ S2 tali cheq(v m) = meq(v M) = M. ♠2 di 3♠ Esercizio 2. Si consideri l’applicazione lineareL:R[t] ⩽3→ R[t] ⩽3definita da L(t2 +t3 ) =α t2 , L(t2 ) =α t2 , L(t−t3 ) =−α t+ 2t3 , L(1−t3 ) =−α+ 2−2t+ 2t3 , doveα`e un parametro reale. (i)Si scriva la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonica 1, t, t2 , t3 . (ii)Si calcolino la dimensione del nucleo diLe il rango diLal variare diα∈R. (iii)Si determini per quali valori diα∈Ril rango diL2 =L◦L`e strettamente pi`u piccolo del rango diL. ♠3 di 3♠ Esercizio 3. Data la matrice A=   1 −2 2 012 310 0310 12     1.si determinino una matrice invertibileSe una matrice diagonaleDtali cheS− 1 AS=D. 2.si calcoliS− 1 . 3.si calcoli limn→+∞A n . ♠4 di 3♠