Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

ESERCIZIO 1 Nello spazio euclideo R3, considera le rette r: $ ’’’& ’’’% x“´ 1´ 2t y“ 2` t z“´ t e s: $ & % ´x` y` 4z´ 1“ 0 x` 2y´ 2“ 0 . (i) Stabilisci la posizione reciproca di res. (ii) Calcola la distanza tra res. (iii) Determina, se esiste, una retta passante per P “p 0, 2, 1 qe incidente entrambe le rette res. – 2 – – 3 – ESERCIZIO 2 Considera l’applicazione lineare L :R3Ñ R3definita da Lpe1q“ 2e 1´ e2, Lpe2q“ ke2` e3, Lpe3q“ e1´ e2` e3 dove k`e un parametro reale. (i) Scrivi la matrice rappresentativa A di Lrispetto alla base canonica E “t e1,e 2,e 3udi R3. (ii) Determina per quali valori di k P R l’applicazione lineare L non `e suriettiva. Per i valori di k trovati, calcola la dimensione di im pLqed esibisci un vettore di R3non appartenente all’immagine. (iii) Verifica che l “ 1`e un autovalore di A e calcola l’autospazio corrispondente. (iv) Determina per quali valori di kPR la matrice A `e diagonalizzabile su R. – 4 – – 5 – ESERCIZIO 3 Considera la matrice A P M Rp3, 2 qed il vettore bPR3seguenti A “ » —– 10 1 ´1 12 fi fl , b“ » —– k 1 1 fi fl , kPR. (i) Discuti l’esistenza di soluzioni del sistema lineare Ax “ b. (ii) Posto k“´ 2, determina la proiezione ortogonale di bsu col pAq. (iii) Posto k“´ 2, scomponi bcome somma b“ v` w con vPcol pAqew Pcol pAqK. – 6 – – 7 –