Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

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Algebra Lineare e Geometria – Febbraio 2021 Esercizio 1.Si consideri il sistema lineare               3 x+y+3z=−5 4x+y+3z=−5 9x+2y+6z=−10 kx+y+3z=aa ,k∈R. 1.Discutere al variare dei parametria,k∈Rl’esistenza di soluzioni del sistema,moti- vando adeguatamente la risposta. 2.Fornire un’interpretazione geometrica della discussione al punto precedente. 3.In corrispondenza dei valori diaekper cui il sistema risulta essere risolubile, de- terminare le soluzioni scrivendole nella formav0 + ker(A)(dovev0 ` e una soluzione particolare del sistema eA` e la matrice dei coefficienti). 4.Stabilire se esistono valori dib∈Rper cui il vettoreh 1 0 0bi T appartiene a col(A),illustrando sinteticamente il procedimento utilizzato. Esercizio 2.Nello spazio vettorialeR4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali: U=Span          1 0 2 −1          , V=Span          1 1 0 1     ,     0 −1 1 2          , W=               x y zt     ∈ R4         2 x+y−z=0           1.Verificare cheU⊂W,motivando sinteticamente la risposta. 2.Completare una base diUad una base diW. 3.Determinare una base diW∩Ved una base diW+V,illustrando sinteticamente il procedimento utilizzato. 1 Esercizio 3. Si consideri la matrice A=  h 0 0 0h−2 2−h 0 2−2  . 1.Determinare per quali valori dih∈Rla matriceA` e diagonalizzabile suR,illustrando il procedimento utilizzato e motivando la risposta. 2.Stabilire se esiste una base ortonormale diR3 formata da autovettori diA,motivando sinteticamente la risposta, e in caso affermativo determinarla. 2