Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Algebra Lineare e Geometria – 15 Giugno 2020 Esercizio 1.Si consideri il sistema lineare     x +z=k2 −1 −3x+2y−2z=2k−2 2y+z=0, k∈R. 1.Determinare per quali valori dikil sistema ammette soluzioni,motivando la risposta e menzionando dove serve quali teoremi sono stati utilizzati. 2.Per gli eventuali valori diktrovati al punto precedente, descrivere le soluzioni del sistema usando il teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare. Inoltre, si considerino le retteredsdescritte dalle equazioni cartesiane r( x+z=k2 −1 2y+z=0s( x+3y=k2 −1 y+z=0. 3.Stabilire la posizione reciproca diresal variare dikinR. 4.Calcolare la distanza minima traresal variare dikinR. Esercizio 2.Si considerino l’applicazione lineareL:R4 →R3 definita da L          x 1 x2 x3 x4          =  x 1+ 3x 2− 2x 4 2x 1+ 3x 2− 2x 3− x 4 −x 1+ 2x 3− x 4   e il sottospazio vettorialeU⊂R4 definito da U= h x1x 2x 3x 4i T ∈R4   x 1− 2x 3= 0 . 1.Scrivere la matrice rappresentativa diLrispetto alle basi canoniche diR4 eR3 . 2.Determinare una base diU, di ker(L)e diU∩ker(L),illustrando sinteticamente il procedi- mento utilizzato. 3.Determinare la dimensione diL(U),motivando adeguatamente la risposta. Esercizio 3.Si consideri la matrice reale 3×3 A=  a 0 0 0a−2 2+a a+1 2−2  , a∈R. 1 1.Determinare per quali valori di a∈Rla matriceA` e diagonalizzabile suR,giustificando la risposta. 2.In corrispondenza dei valori diaper cuiA` e diagonalizzabile suR, determinare una base diR3 formata da autovettori diA. 3.Stabilire se esistono valori dia∈Rper cui` e possibile costruire una base ortogonale di R3 formata da autovettori diA,motivando la risposta (in caso affermativo, non `e necessario esibire una tale base). Inoltre, sianoBuna matrice reale 3×3 ew̸=0∈R3 un vettore tali che dim ker(B+I) =2 eBw=−4w. 4.Stabilire se esistono valori dia∈Rper cuiB` e simile adA,motivando la risposta. 2