Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

ESERCIZIO 1 Considera la matrice A “ » —– hh h hh ` kh ´ k hh ´ kh ` k fi fl , h,kPR. (i) Stabilisci per quali valori di h,kPR la matrice A ha rango 2. (ii) Per i valori determinati al punto (i) , determina per quali vettori bil sistema Ax “ b`e risolubile. (iii) Stabilisci per quali valori di h,kPR la forma quadratica associata ad A `e semidefinita positiva. – 2 – – 3 – ESERCIZIO 2 Considera l’applicazione lineare L :R3Ñ R3definita da Lpxq“ Ahxdove x“ » —– x1 x2 x3 fi fl e Ah“ » —– h 00 0 h´ 22 ´ h 02 ´2 fi fl ,hPR. (i) Per ogni valore di hPR, determina gli autovalori di Ah. (ii) Stabilisci per quali valori di hla matrice `e diagonalizzabile. (iii) Scrivi, quando possibile, la decomposizione spettrale di Ah. – 4 – – 5 – ESERCIZIO 3 Considera lo spazio vettoriale M Rp2, 2 qdelle matrici reali quadrate 2 ˆ 2 dotato della struttura euclidea data dal prodotto scalare xA,By“ trpAB Tqper ogni A,B P M Rp2, 2 q. (i) Determina tutte le matrici ortogonali a A “ « 12 00 . (ii) Determina una base ortonormale del sottospazio vettoriale H “ Span ˜« 01 00 , « 00 10 , « 12 00 ¸ . (iii) Dimostra che la funzione x,y:M Rpn,nqˆ M Rpn,nqÑ R definita da xA,By“ trpAB Tqdefinisce un prodotto scalare per ogni n. (iv) Determina un’applicazione lineare L :M Rpn,nqÑ Rn2tale che xA,Ay“ LpAq¨ LpAq, @ A P M Rpn,nq, dove ¨denota il prodotto scalare euclideo standard di Rn2. – 6 – – 7 –