Mathematical Engineering - Algebra Lineare e Geometria

Full exam

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Algebra lineare e Geometria – A.A. 2021-2022 Parte B – Docente : 17 gennaio 2022 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, nello spazio disponibile sotto il testo dell’esercizio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1. Date le rette resdi equazioni cartesiane rispettivamente x+y+2 z4=2 xy+z5=0 e x2= yz1=0 , determinare P 2 reQ 2 stali che la distanza tra P eQ sia uguale alla distanza tra res(cio`e al minimo della distanza tra un punto di reunpuntodi s). Esercizio 2. Si consideri la matrice Ak= 2 4 4 3 3 34 3 3 k 4 3 5.Sideterminil’unico kper cui Ak`e ortogonalmente diagonalizzabile. Per tale ksi determini una base ortonormale di R3formata da autovettori di Ak, e si scrivano le matrici delle proiezioni ortogonali di R3sugli autospazi di Ak. Esercizio 3. Sia data la matrice reale A = 2 43 ab 051 005 3 5. a) Determinare una base di ciascun autospazio di A e mostrare che A non `e diagonalizzabile. b) Sia b2un autovettore (in particolare, b2non `e nullo) relativo all’autovalore doppio 2di A. Determinare un vettore b3tale ( A 2I)b3= b2. c) Sia b1un autovettore (in particolare, b1non `e nullo) relativo all’autovalore semplice 1di A. Mostrare che {b1,b2,b3}`e una base di R3, e scrivere la matrice che rappresenta l’applicazione lineare LA(v)= Av rispetto a tale base. ~1di1 ~